Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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Ortogonalidad y base ortonormal


En álgebra lineal, la "ortogonalidad" es un concepto fundamental que trata sobre la perpendicularidad de los vectores. Lleva la idea de líneas perpendiculares de la geometría a los espacios vectoriales. El producto punto de los vectores ortogonales es cero, lo que significa que son direcciones 'independientes'. Entender la ortogonalidad es importante en una variedad de tareas matemáticas, incluyendo la simplificación de cálculos vectoriales, y tiene aplicaciones en la informática, la física y la ingeniería.

Ortogonalidad

Para entender la ortogonalidad, primero necesitamos explorar el producto punto (también llamado producto interior). Para los vectores en R n, el producto punto es una forma de crear un escalar (un solo número) multiplicando dos vectores. Si tienes dos vectores u y v en R n, el producto punto se define como

    u • v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + ... + u n v n

donde u i y v i son los componentes de los vectores u y v, respectivamente. Dos vectores se llaman ortogonales si su producto punto es cero:

    u • v = 0

Ejemplo visual:

En la visualización anterior, las líneas rojas y azules representan dos vectores ortogonales. Se encuentran en ángulos rectos en el origen, que está representado por el punto verde.

Propiedades de los vectores ortogonales

  • Dos vectores no nulos en un plano bidimensional son ortogonales si están a un ángulo de 90 grados entre sí.
  • Los vectores ortogonales en dimensiones superiores aún tienen la propiedad de que su producto punto es cero.
  • Si un conjunto de vectores es mutuamente perpendicular (cada par de vectores en el conjunto es perpendicular), entonces este conjunto se llama un conjunto perpendicular.

Vectores y bases ortonormales

Mientras que los vectores ortogonales son vectores que están en ángulos rectos entre sí, los vectores ortonormales añaden una condición adicional: cada vector debe tener la misma longitud (magnitud). Si todos los vectores en un conjunto ortogonal también tienen la misma longitud, entonces se convierte en un conjunto ortonormal. Los puntos clave son los siguientes:

  • Vectores ortonormales: Un grupo de vectores es ortonormal si la magnitud de cada vector es unidad y cualquier par de vectores en el grupo son ortogonales.
  • Base ortonormal: Una base ortonormal para un espacio vectorial es una base que también es un conjunto ortonormal.

Matemáticamente, para que un conjunto de vectores { e 1, e 2, ..., e n } sea ortonormal, debe cumplirse lo siguiente:

    e i • e j = 
    ,
        1 si i = j (mismos vectores)
        0 si i ≠ j (diferentes vectores)
    ,

Ejemplo visual:

Las líneas rojas y azules arriba representan vectores que forman una base ortonormal para el plano 2D. Están en ángulos rectos y cada uno tiene una magnitud de uno.

Por qué son útiles las bases ortonormales

Tener una base ortonormal para un espacio vectorial es increíblemente útil porque simplifica muchos cálculos, como encontrar los componentes de un vector en ese espacio. Sea b la base ortonormal para un espacio vectorial V. Entonces, para cualquier vector v en V, podemos expresar v de la siguiente manera:

    V = (V • E 1 )E 1 + (V • E 2 )E 2 + ... + (V • E n )E n

Este es un resultado poderoso porque para encontrar la coordenada de v a lo largo de la dirección de e i, solo se necesita el producto punto v • e i. Esta simplicidad se debe a que el producto punto de v consigo mismo dará uno debido a la normalización.

Construcción de una base ortonormal: el proceso de Gram-Schmidt

Uno de los procesos más famosos para convertir cualquier base en una base ortonormal es el procedimiento de Gram-Schmidt. Funciona de la siguiente manera:

  1. Comienza con un conjunto inicial de vectores linealmente independientes {v 1, v 2, ..., v n}.
  2. Para convertir el primer vector en un vector unitario, establece e 1 = v 1 / |v 1|
  3. Para cada vector subsiguiente v k, hazlo ortogonal a todos los vectores ortogonales obtenidos previamente.
  4. Normaliza cada vector ortogonal para convertirlo en un vector unitario.

Ilustración:

Esta ilustración muestra cómo los vectores iniciales (rojo y azul) se transforman en vectores ortogonales usando el proceso de Gram-Schmidt, y finalmente, cuando todos los vectores son normalizados, se forma una base ortonormal.

Aplicaciones y ejemplos

Las bases ortonormales se utilizan ampliamente en gráficos por computadora, procesamiento de señales y resolución de ecuaciones diferenciales, así como en muchos otros campos. Simplifican los cálculos al permitir la descomposición y proyección de vectores de una manera directa.

Cálculo de ejemplo:

Considera los vectores u = (1, 0, -1) y v = (1, 2, 1). Queremos ver si son ortogonales:

El producto punto se calcula de la siguiente manera:

    u • v = (1 * 1) + (0 * 2) + (-1 * 1) = 0

Ya que su producto punto es cero, los vectores u y v son ortogonales.

Las bases ortonormales permiten la representación y manipulación eficiente de espacios vectoriales. Al entender la ortogonalidad y cómo construir conjuntos ortonormales, podemos descubrir soluciones simples a problemas complejos.


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Ortogonalidad y base ortonormal

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