स्नातक → बीजगणित → रेखीय बीजगणित ↓
स्वयंमान और स्वकीय सदिश
रेखीय बीजगणित की दुनिया में, स्वयंमान और स्वकीय सदिश की अवधारणाएँ महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। इंजीनियरिंग और भौतिकी से लेकर कंप्यूटर विज्ञान और डेटा विश्लेषण तक के विभिन्न क्षेत्रों में वे मौलिक हैं। आइए जानें कि स्वयंमान और स्वकीय सदिश क्या होते हैं, वे कैसे काम करते हैं, और वे क्यों महत्वपूर्ण हैं।
परिचय
रेखीय बीजगणित के केंद्र में सदिश और मैट्रिक्स का अध्ययन है। एक मैट्रिक्स मूलतः संख्याओं का एक ग्रिड होता है जो कई चीजों को दर्शा सकता है: परिवर्तन, समीकरणों की प्रणालियाँ और अधिक। जब आप एक मैट्रिक्स को एक सदिश से गुणा करते हैं, तो सदिश खींचा या संकुचित हो सकता है, और उसकी दिशा बदल सकती है। हालाँकि, कुछ विशेष मामलों में, सदिश केवल स्केल होता है - उसकी दिशा नहीं बदलती। ये विशेष सदिश स्वकीय सदिश के रूप में जाने जाते हैं, और जिस स्केल फैक्टर से उन्हें खींचा या संकुचित किया जाता है वह स्वयंमान के रूप में जाना जाता है।
परिभाषाएँ
आइए इन शब्दों को अधिक औपचारिक रूप से परिभाषित करें। एक वर्ग मैट्रिक्स A के लिए, जिसका आकार nxn है:
a * v = λ * v
यहाँ, v स्वकीय सदिश है, और λ (लैम्ब्डा) स्वयंमान है। उपरोक्त समीकरण मूलतः यह दर्शाता है कि जब मैट्रिक्स A v पर कार्य करता है, तो यह इसे केवल λ के कारक से स्केल करता है।
दृश्य उदाहरणों के जरिए समझना
किसी मैट्रिक्स द्वारा किसी सदिश स्थान पर किए गए परिवर्तन पर विचार करें। हम इसे एक सरल मामले के साथ दृश्य रूप से समझेंगे।
उदाहरण 1
a = | 3 0 |
| 0 2 |
मैट्रिक्स A 2D स्थान में सदिशों के मापदंड करता है। उदाहरण के लिए, एक सदिश v पर विचार करें:
v = |1|
|0|
जब A को v से गुणा किया जाता है, तो परिणामी सदिश होता है:
A * V = | 3 0 | * | 1 | = | 3 |
| 0 2 | | 0 | | 0 |
नया सदिश A*v v के समांतर है और इसे 3 के कारक से स्केल किया गया है, जो इसका स्वयंमान है।
स्वयंमान और स्वकीय सदिश खोजना
हम समीकरण को हेरफेर करके स्वयंमान और स्वकीय सदिश प्राप्त करेंगे:
a * v = λ * v
समीकरण को फिर से लिखते हुए, हमें मिलता है:
a * v − λ * v = 0
v को समीकरण से बाहर निकालते हुए:
(A - λI) * V = 0
यहाँ, I मैट्रिक्स A के समान आकार का पहचान मैट्रिक्स है। गैर-तुच्छ समाधान (शून्य सदिश के अलावा समाधान) के लिए, (A - λI) का विशेषांक शून्य होना चाहिए:
det(A - λI) = 0
इस समीकरण को विशेषता समीकरण कहा जाता है, और इसे हल करके हमें स्वयंमान मिलेंगे।
उदाहरण 2
एक मैट्रिक्स पर विचार करें:
a = | 4 1 |
| 2 3 |
विशेषता समीकरण की गणना करें:
det(A - λI) = det(| 4 - λ 1 |)
| 2 3 - λ |
= (4 - λ)(3 - λ) - (1*2)
= λ² - 7λ + 10
स्वयंमान खोजने के लिए सरल करें:
λ² - 7λ + 10 = 0
द्विघात समीकरण हल करना:
λ = [7 ± sqrt(49 - 40)] / 2
λ = 5, 2
अब, प्रत्येक स्वयंमान के लिए स्वकीय सदिश खोजें।
स्वकीय सदिश की गणना
λ = 5 के लिए:
(a - 5i) * v = 0
| 4 - 5 1 | * | x | = | 0 |
| 2 3-5 | | y | | 0 |
|-1 1| * |x| = |0|
|2 -2| |y| |0|
=> 0x + 1y = 0 (या, y = x)
λ = 5 के लिए स्वकीय सदिश निम्नलिखित रूप में होते हैं:
|X|
|X|
λ = 2 के लिए:
(a - 2i) * v = 0
| 4 - 2 1 | * | x | = | 0 |
| 2 3-2 | | y | | 0 |
|2 1| * |x| = |0|
|2 1| |y| |0|
=> 2x + 1y = 0 (या, y = -2x)
λ = 2 के लिए स्वकीय सदिश निम्नलिखित रूप में हैं:
|X|
|-2x|
स्वयंमान और स्वकीय सदिश के अनुप्रयोग
स्वयंमान और स्वकीय सदिश को कई अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है:
- यांत्रिक कंपन और स्थिरता: कंपन की प्राकृतिक आवृत्तियाँ और प्रणाली के रूप निर्धारित करने के लिए स्वयंमान और स्वकीय सदिश का उपयोग किया जाता है।
- प्रमुख घटक विश्लेषण (PCA): आँकड़ों और मशीन लर्निंग में आयाम कमी और विशेषता चयन के लिए व्यापक रूप से प्रयुक्त विधि।
- क्वांटम यांत्रिकी: भौतिकी में, वे एक प्रणाली के भौतिक अवस्थाओं का वर्णन करते हैं।
- मार्कोव प्रक्रियाएँ: प्रायिकता में, स्वकीय सदिश स्थिर वितरणों और दीर्घकालिक व्यवहार को समझने में मदद करते हैं।
निष्कर्ष
स्वयंमान और स्वकीय सदिश पहली नज़र में अमूर्त लग सकते हैं, लेकिन जटिल प्रणालियों को सरल बनाने में उनकी शक्ति और उपयोगिता को कम करके नहीं आंका जा सकता। चाहे आप अवकल समीकरणों की प्रणालियों का अध्ययन कर रहे हों, मशीन लर्निंग में डेटा समूहों की खोज कर रहे हों, या इंजीनियरिंग में भौतिक कंपन का विश्लेषण कर रहे हों, स्वयंमान और स्वकीय सदिशों द्वारा प्रदान की गई अंतर्दृष्टियाँ सैद्धांतिक और व्यावहारिक समस्याओं दोनों पर प्रकाश डालती हैं।
टिप्पणियाँ