Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

Graduação → Álgebra → Álgebra linear ↓


Sistemas de equações lineares


Os sistemas de equações lineares são uma parte essencial da álgebra linear, um campo da matemática que lida sistematicamente com equações e matrizes. As equações lineares em si são equações diferenciais no seu primeiro grau, expressas em termos de variáveis que não envolvem potências ou produtos dessas variáveis. Simplificando, elas são linhas retas quando representadas graficamente em duas dimensões.

Um sistema de equações lineares é um conjunto composto por duas ou mais equações lineares. O objetivo de lidar com esses sistemas é encontrar soluções, o que significa valores para as variáveis desconhecidas que satisfaçam todas as equações simultaneamente.

Compreendendo as equações lineares

Para entender melhor os sistemas de equações lineares, é importante primeiro entender como é uma única equação linear. Normalmente, uma equação linear em duas variáveis, como x e y, parece algo assim:

    ax + by = c

Nesta equação, a, b e c são constantes, e x e y são variáveis. O gráfico desta equação é uma linha reta no plano xy.

Exemplo de um sistema de equações lineares

Um exemplo simples de um sistema com duas equações lineares é:

    1. x + y = 5
    2. x – y = 1

As soluções dessas duas equações são os valores de x e y que tornam ambas as equações verdadeiras ao mesmo tempo.

Representação gráfica

Uma maneira de resolver sistemas de equações é através de uma representação gráfica. Aqui está uma representação das equações acima:

    Equação 1: y = -x + 5
    Equação 2: y = x – 1
y = -x + 5 y = x – 1

No gráfico acima, a linha azul representa a primeira equação, e a linha verde representa a segunda equação. O ponto em que se interceptam é a solução do sistema de equações. Examinando visualmente o gráfico, podemos determinar que as linhas se interceptam no ponto (3, 2). Portanto, x = 3 e y = 2 são as soluções para o sistema.

Métodos algébricos para resolver sistemas

Como pode ser difícil encontrar a interseção exata simplesmente grafando, métodos algébricos como substituição e eliminação fornecem soluções mais precisas.

Método de substituição

O método de substituição envolve resolver uma das equações para uma variável e substituir essa expressão na outra equação. Vamos aplicá-lo ao nosso exemplo:

  1. Resolver a primeira equação para x: x = 5 - y
  2. Substituir essa expressão na segunda equação: (5 - y) - y = 1
  3. Simplificar e resolver: 5 - 2y = 1
  4. -2y = 1 - 5 = -4, então y = 2
  5. Substituir y na expressão para x: x = 5 - 2 = 3

Método de eliminação

O método de eliminação envolve adicionar ou subtrair equações umas das outras de forma que uma das variáveis seja eliminada. No nosso exemplo, funciona assim:

  1. Alinhar as equações: 
                1. x + y = 5
            2. x – y = 1
  2. Adicionar as duas equações para eliminar y: 
                x+y
          + x - y
          ,
            2x = 6
  3. Resolver para x: x = 6 / 2 = 3
  4. Substituir x em uma das equações originais para encontrar y: 3 + y = 5, então y = 2

Tipos de soluções

Sistemas de equações lineares podem ter diferentes tipos de soluções, dependendo da relação entre as linhas.

1. Solução única

Isso acontece quando as linhas se intersectam em um único ponto. Os coeficientes nas equações fornecem diferentes inclinações:

    Exemplo: 
    1. 2x + 3y = 6
    2. x – y = 2

Essas linhas se interceptam exatamente uma vez e deixam uma solução única, como o ponto (x, y)

2. Soluções infinitas

Quando duas equações representam a mesma linha, o sistema tem infinitas soluções. Neste caso, cada solução para uma equação é uma solução para a outra:

    Exemplo:
    1. 2x + 2y = 4
    2. x + y = 2

Ambas as equações representam a mesma linha.

3. Sem solução

Não há solução quando estão envolvidas linhas paralelas. Linhas paralelas nunca se encontram, portanto, não há solução geral:

    Exemplo: 
    1. x – y = 1
    2. x – y = 3

Essas linhas têm a mesma inclinação, mas diferentes interceptos em y.

Abordagem de solução por matriz

Uma abordagem mais sistemática para lidar com grandes sistemas de equações lineares envolve matrizes. Um sistema pode ser representado de forma compacta usando uma matriz. Vamos pegar um exemplo para explorar como funcionam as matrizes com sistemas de equações:

    Sistema:
    1.x + 2y = 5
    2.3x + 4y = 6
    
    Representação em matriz:
    a * x = b
    
    A = [1 2]
        [3 4]

    x = [x]
        [y]

    B = [5]
        [6]

A solução é dada encontrando a inversa da matriz A e resolvendo para X:

    x = a - 1 * b

No entanto, encontrar a inversa só é possível se o determinante de A não for zero.

Essa abordagem é especialmente eficaz para sistemas com mais de duas variáveis.

Conclusão

Resolver sistemas de equações lineares é uma habilidade fundamental na álgebra linear que é crucial para inúmeras aplicações no mundo real. Entender as propriedades e as diferentes maneiras de resolver esses sistemas permite abordagens criativas e eficientes para a solução de problemas. À medida que você se aprofunda, praticar com sistemas maiores e usar representações matriciais aprimorará suas habilidades e abrirá novos caminhos para aplicar esses princípios fundamentais. Lembre-se, a beleza da álgebra linear está em sua simplicidade e universalidade, fornecendo soluções elegantes para problemas complexos.


Graduação → 1.1.3


U
username
0%
concluído em Graduação

← Anterior (1.1.2)
Determinantes
Próximo (1.1.4) →
Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear

Comentários 



Sistemas de equações lineares

https://www.buddymath.com/ug/1.1.3?bmal=pt