Бакалавриат
  1. Алгебра  1.1. Линейная алгебра  1.1.1. Матрицы  1.1.2. Определители  1.1.3. Системы линейных уравнений  1.1.4. Понимание векторных пространств в линейной алгебре  1.1.5. Линейные преобразования  1.1.6. Собственные значения и собственные векторы  1.1.7. Диагонализация  1.1.8. Внутреннее пространственное произведение  1.1.9. Ортогональность и ортонормированный базис  1.1.10. Сингулярное разложение  1.2. Абстрактная алгебра  1.2.1. Группа  1.2.2. Подгруппы  1.2.3. Циклические группы  1.2.4. Группа перестановок  1.2.5. Гомеоморфизм  1.2.6. Нормальные подгруппы  1.2.7. Введение в кольца в абстрактной алгебре  1.2.8. Поле  1.2.9. Идеалы и фактор-кольца  1.2.10. Кольца многочленов  1.2.11. Векторное пространство над полем  1.2.12. Модуль  1.2.13. Введение в теорию Галуа
  2. Расчеты  2.1. Дифференциальное исчисление  2.1.1. Понимание пределов в дифференциальном исчислении  2.1.2. Понимание континуума в дифференциальном исчислении  2.1.3. Производные  2.1.4. Понимание правила цепочки в дифференциальном исчислении  2.1.5. Неявное дифференцирование  2.1.6. Приложения производных  2.1.7. Задачи оптимизации  2.1.8. Понимание теоремы о среднем значении  2.2. Интегральное исчисление  2.2.1. Определенный интеграл  2.2.2. Неопределенный интеграл  2.2.3. Методы интеграции  2.2.4. Неправильные интегралы  2.2.5. Применение интеграла  2.2.6. Длина дуги и площадь поверхности  2.3. Многомерное исчисление  2.3.1. Частная производная  2.3.2. Градиент в многомерном исчислении  2.3.3. Дивергенция и ротор  2.3.4. Введение в множественное интегрирование  2.3.5. Понимание линейных интегралов  2.3.6. Поверхностные интегралы  2.3.7. Объяснение теоремы Грина  2.3.8. Теорема Стокса  2.3.9. Теорема о дивергенции  2.3.10. Якобиан
  3. Дифференциальные уравнения  3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  3.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  3.1.2. Дифференциальные уравнения высшего порядка  3.1.3. Системы дифференциальных уравнений  3.1.4. Решение в виде ряда  3.1.5. Численные методы для ОДУ  3.2. Уравнения в частных производных  3.2.1. Понимание уравнения теплопроводности  3.2.2. Уравнение волны  3.2.3. Уравнение Лапласа  3.2.4. Разделение переменных  3.2.5. Методы преобразования Фурье в уравнениях с частными производными
  4. Реальный анализ  4.1. Последовательности и ряды  4.1.1. Сходимость последовательностей  4.1.2. Тестирование рядов  4.1.3. Степенной ряд  4.1.4. Равномерная сходимость  4.2. Функции действительных переменных  4.2.1. Пределы и непрерывность  4.2.2. Понимание равномерной непрерывности  4.2.3. Дифференцирование функций действительных переменных  4.2.4. Интегрирование по Риману  4.2.5. Интеграл Лебега
  5. Введение в комплексный анализ  5.1. Комплексные числа  5.1.1. Полярная форма  5.1.2. Экспоненциальная форма в комплексных числах  5.2. Функции комплексной переменной  5.2.1. Аналитические функции  5.2.2. Уравнения Коши–Римана  5.2.3. Контурные интегралы  5.2.4. Теорема Коши о интеграции  5.2.5. Теорема о вычетах в комплексном анализе  5.2.6. Конформное отображение
  6. Вероятность и статистика  6.1. Теория вероятностей  6.1.1. Основные концепции вероятности  6.1.2. Случайные величины  6.1.3. Понимание вероятностных распределений  6.1.4. Ожидание и вариация  6.1.5. Условная вероятность и теорема Байеса  6.2. Фигуры  6.2.1. Описательная статистика  6.2.2. Инференциальная статистика  6.2.3. Проверка гипотез  6.2.4. Регрессионный анализ  6.2.5. Понимание ANOVA: анализ дисперсии
  7. Численные методы  7.1. Алгоритм нахождения корней  7.2. Численное интегрирование  7.3. Численное дифференцирование  7.4. Численные решения дифференциальных уравнений  7.5. Вычисления с матрицами  7.6. Интерполяция и экстраполяция
  8. Введение в дискретную математику  8.1. Аргументы и доказательства  8.2. Компаньонство  8.3. Теория графов  8.4. Алгебра логики  8.5. Рекуррентное соотношение
  9. Линейное программирование и оптимизация  9.1. Понимание метода симплекс в линейном программировании и оптимизации  9.2. Двойственность в линейном программировании и оптимизации  9.3. Целочисленное программирование  9.4. Нелинейная оптимизация
  10. Понимание топологии: путешествие по формам и пространствам  10.1. Метрик пространство  10.2. Топологические пространства  10.3. Непрерывность и гомеоморфизмы  10.4. Плотность  10.5. Ассоциативность в топологии
  11. Введение в геометрию  11.1. Евклидова геометрия  11.2. Дифференциальная геометрия  11.3. Неевклидова геометрия  11.4. Проективная геометрия
  12. Математическая физика  12.1. Ряд Фурье  12.2. Преобразование Лапласа  12.3. Применение дифференциальных уравнений  12.4. Специальные функции
  13. Теория множеств и логика  13.1. Множества и подмножества  13.2. Отношения и функции  13.3. Понимание мощности в теории множеств и логике  13.4. Понимание формальной логики в теории множеств и логике  13.5. Теория множества Цермело-Френкеля
  14. Введение в функциональный анализ  14.1. Стандартная локация  14.2. Банаховы пространства  14.3. Понимание пространства Гильберта в функциональном анализе  14.4. Линейные операторы

Бакалавриат → Алгебра → Линейная алгебра ↓


Определители


В линейной алгебре определители играют важную роль в понимании линейных преобразований, решении уравнений и анализе матриц. Этот эссе углубится в концепцию определителей, пытаясь сделать идеи доступными и понятными даже для студентов, которые только начинают изучать линейную алгебру.

Введение в определители

Определитель - это специальное число, которое можно вычислить из квадратной матрицы. Матрицы являются фундаментальными элементами в линейной алгебре, и определители помогают выводить многие свойства этих матриц. По сути, определитель предоставляет скалярное значение, которое отражает множество характеристик содержащей его матрицы.

Дана матрица ( A ):

a = | a11 a12 |
    | A21 A22 |
        
Определитель матрицы A для матрицы 2x2, часто обозначаемый как det(A) или |A|, вычисляется следующим образом:

det(a) = a11 * a22 - a12 * a21

Визуализация определителей

Представим простой расчет det(A) для матрицы 2x2. Представьте, что у вас есть квадратная сетка, и вы хотите понять, как преобразование матрицы масштабирует или переворачивает сетку.

Основные свойства определителей

Определители имеют несколько важных свойств, которые могут помочь в понимании расчетов и линейных преобразований:

  • Det = 0: Если определитель матрицы равен нулю, то эта матрица называется вырожденной. Вырожденная матрица не имеет обратной.
  • Свойство умножения: Для матриц A и B, det(AB) = det(A) * det(B).
  • Определитель единичной матрицы: Определитель любой единичной матрицы всегда равен 1.
  • Строковые операции: Замена двух строк матрицы умножает определитель на -1.

Определители больших матриц

По мере увеличения размера матриц до 3x3 или больше, расчет определителей становится более сложным. Давайте исследуем вычисление определителя матрицы 3x3, чтобы лучше понять процесс.

Рассмотрим матрицу 3x3 ( B ):
        
b = | b11 b12 b13 |
    | B21 B22 B23 |
    | B31 B32 B33 |
        
Определитель матрицы B, обозначаемый как det(B), вычисляется путем раскрытия по любой строке или столбцу. Например, по первой строке:
        
DATE(B) = B11 * (B22 * B33 - B23 * B32) - B12 * (B21 * B33 - B23 * B31) + B13 * (B21 * B32 - B22 * B31)

Применение определителей

Определители применяются в различных математических и реальных ситуациях, наиболее значительные из которых:

  1. Обратная матрица: Определители важны для нахождения обратной матрицы. Матрица обратима, только если ее определитель не равен нулю.
  2. Расчет объемов: В геометрии определители помогают вычислять объемы фигур, ограниченных векторами.
  3. Решение систем уравнений: Правило Крамера использует определители для решения систем линейных уравнений.

Примеры вычисления определителей

Давайте попрактикуемся в вычислении определителей на некоторых примерах, чтобы укрепить ваше понимание.

Пример 1: Матрица 2x2

Предположим, матрица C представлена как матрица 2x2:

c = | 4 3 |
    | 6 3 |
        
det(C) = (4)(3) - (3)(6) = 12 - 18 = -6

Пример 2: Матрица 3x3

Рассмотрим матрицу D:

d = | 1 2 3 |
    | 4 5 6 |
    | 7 8 9 |
        
det(D) = 1 * (5*9 - 6*8) - 2 * (4*9 - 6*7) + 3 * (4*8 - 5*7)
       = 1 * (45 – 48) – 2 * (36 – 42) + 3 * (32 – 35)
       = 1 * (-3) – 2 * (-6) + 3 * (-3)
       = -3 + 12 - 9
       = 0

Заключение

Определители являются неотъемлемой частью линейной алгебры, предоставляя доступ к пониманию свойств матриц, решению уравнений и исследованию геометрических концепций. От простых матриц 2x2 до более сложных матриц nxn, определители раскрывают множество особенностей превращающих матриц. Хотя вначале они могут показаться сложными для понимания, с практикой расчеты и применения определителей становятся более ясными и глубоко связанными с различными математическими операциями и концепциями.


Бакалавриат → 1.1.2


U
username
0%
завершено в Бакалавриат

← предыдущая (1.1.1)
Матрицы
следующая (1.1.3) →
Системы линейных уравнений

комментарии 



Определители

https://www.buddymath.com/ug/1.1.2?bmal=ru