Бакалавриат
  1. Алгебра  1.1. Линейная алгебра  1.1.1. Матрицы  1.1.2. Определители  1.1.3. Системы линейных уравнений  1.1.4. Понимание векторных пространств в линейной алгебре  1.1.5. Линейные преобразования  1.1.6. Собственные значения и собственные векторы  1.1.7. Диагонализация  1.1.8. Внутреннее пространственное произведение  1.1.9. Ортогональность и ортонормированный базис  1.1.10. Сингулярное разложение  1.2. Абстрактная алгебра  1.2.1. Группа  1.2.2. Подгруппы  1.2.3. Циклические группы  1.2.4. Группа перестановок  1.2.5. Гомеоморфизм  1.2.6. Нормальные подгруппы  1.2.7. Введение в кольца в абстрактной алгебре  1.2.8. Поле  1.2.9. Идеалы и фактор-кольца  1.2.10. Кольца многочленов  1.2.11. Векторное пространство над полем  1.2.12. Модуль  1.2.13. Введение в теорию Галуа
  2. Расчеты  2.1. Дифференциальное исчисление  2.1.1. Понимание пределов в дифференциальном исчислении  2.1.2. Понимание континуума в дифференциальном исчислении  2.1.3. Производные  2.1.4. Понимание правила цепочки в дифференциальном исчислении  2.1.5. Неявное дифференцирование  2.1.6. Приложения производных  2.1.7. Задачи оптимизации  2.1.8. Понимание теоремы о среднем значении  2.2. Интегральное исчисление  2.2.1. Определенный интеграл  2.2.2. Неопределенный интеграл  2.2.3. Методы интеграции  2.2.4. Неправильные интегралы  2.2.5. Применение интеграла  2.2.6. Длина дуги и площадь поверхности  2.3. Многомерное исчисление  2.3.1. Частная производная  2.3.2. Градиент в многомерном исчислении  2.3.3. Дивергенция и ротор  2.3.4. Введение в множественное интегрирование  2.3.5. Понимание линейных интегралов  2.3.6. Поверхностные интегралы  2.3.7. Объяснение теоремы Грина  2.3.8. Теорема Стокса  2.3.9. Теорема о дивергенции  2.3.10. Якобиан
  3. Дифференциальные уравнения  3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  3.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  3.1.2. Дифференциальные уравнения высшего порядка  3.1.3. Системы дифференциальных уравнений  3.1.4. Решение в виде ряда  3.1.5. Численные методы для ОДУ  3.2. Уравнения в частных производных  3.2.1. Понимание уравнения теплопроводности  3.2.2. Уравнение волны  3.2.3. Уравнение Лапласа  3.2.4. Разделение переменных  3.2.5. Методы преобразования Фурье в уравнениях с частными производными
  4. Реальный анализ  4.1. Последовательности и ряды  4.1.1. Сходимость последовательностей  4.1.2. Тестирование рядов  4.1.3. Степенной ряд  4.1.4. Равномерная сходимость  4.2. Функции действительных переменных  4.2.1. Пределы и непрерывность  4.2.2. Понимание равномерной непрерывности  4.2.3. Дифференцирование функций действительных переменных  4.2.4. Интегрирование по Риману  4.2.5. Интеграл Лебега
  5. Введение в комплексный анализ  5.1. Комплексные числа  5.1.1. Полярная форма  5.1.2. Экспоненциальная форма в комплексных числах  5.2. Функции комплексной переменной  5.2.1. Аналитические функции  5.2.2. Уравнения Коши–Римана  5.2.3. Контурные интегралы  5.2.4. Теорема Коши о интеграции  5.2.5. Теорема о вычетах в комплексном анализе  5.2.6. Конформное отображение
  6. Вероятность и статистика  6.1. Теория вероятностей  6.1.1. Основные концепции вероятности  6.1.2. Случайные величины  6.1.3. Понимание вероятностных распределений  6.1.4. Ожидание и вариация  6.1.5. Условная вероятность и теорема Байеса  6.2. Фигуры  6.2.1. Описательная статистика  6.2.2. Инференциальная статистика  6.2.3. Проверка гипотез  6.2.4. Регрессионный анализ  6.2.5. Понимание ANOVA: анализ дисперсии
  7. Численные методы  7.1. Алгоритм нахождения корней  7.2. Численное интегрирование  7.3. Численное дифференцирование  7.4. Численные решения дифференциальных уравнений  7.5. Вычисления с матрицами  7.6. Интерполяция и экстраполяция
  8. Введение в дискретную математику  8.1. Аргументы и доказательства  8.2. Компаньонство  8.3. Теория графов  8.4. Алгебра логики  8.5. Рекуррентное соотношение
  9. Линейное программирование и оптимизация  9.1. Понимание метода симплекс в линейном программировании и оптимизации  9.2. Двойственность в линейном программировании и оптимизации  9.3. Целочисленное программирование  9.4. Нелинейная оптимизация
  10. Понимание топологии: путешествие по формам и пространствам  10.1. Метрик пространство  10.2. Топологические пространства  10.3. Непрерывность и гомеоморфизмы  10.4. Плотность  10.5. Ассоциативность в топологии
  11. Введение в геометрию  11.1. Евклидова геометрия  11.2. Дифференциальная геометрия  11.3. Неевклидова геометрия  11.4. Проективная геометрия
  12. Математическая физика  12.1. Ряд Фурье  12.2. Преобразование Лапласа  12.3. Применение дифференциальных уравнений  12.4. Специальные функции
  13. Теория множеств и логика  13.1. Множества и подмножества  13.2. Отношения и функции  13.3. Понимание мощности в теории множеств и логике  13.4. Понимание формальной логики в теории множеств и логике  13.5. Теория множества Цермело-Френкеля
  14. Введение в функциональный анализ  14.1. Стандартная локация  14.2. Банаховы пространства  14.3. Понимание пространства Гильберта в функциональном анализе  14.4. Линейные операторы

Бакалавриат → Алгебра → Линейная алгебра ↓


Матрицы


Матрица — это фундаментальная концепция в области математики, особенно в линейной алгебре. Давайте подробно изучим концепцию матрицы, их типы, операции и разнообразные приложения.

Введение в матрицы

Матрица — это двумерный массив чисел, расположенных в строках и столбцах. Числа внутри матрицы называются ее элементами. Матрицы можно использовать для решения систем линейных уравнений и других приложений.

Например, рассмотрим следующую матрицу:

A = | 1 2 3 | | 4 5 6 |A = | 1 2 3 | | 4 5 6 |

У этой матрицы A две строки и три столбца. Следовательно, это матрица 2x3 (читается как "два на три").

Визуальный пример матрицы

123456

Типы матриц

Матрицы можно классифицировать на разные типы в зависимости от их размера и характера их элементов. Вот некоторые общие типы:

Строковая матрица

Строковая матрица имеет только одну строку. Например:

B = | 1 2 3 |B = | 1 2 3 |

Столбцовая матрица

Столбцовая матрица имеет только один столбец. Например:

C = | 1 | | 2 | | 3 |C = | 1 | | 2 | | 3 |

Квадратная матрица

Квадратная матрица имеет одинаковое количество строк и столбцов. Например:

D = | 1 2 | | 3 4 |D = | 1 2 | | 3 4 |

Диагональная матрица

Диагональная матрица — это квадратная матрица, в которой все диагональные элементы равны нулю. Например:

E = | 1 0 | | 0 4 |E = | 1 0 | | 0 4 |

Операции над матрицами

Операции над матрицами аналогичны арифметическим операциям над числами. Обычно мы выполняем сложение, вычитание и умножение матриц.

Сложение матриц

Чтобы сложить две матрицы, их размеры должны совпадать. Соответствующие элементы складываются. Рассмотрим матрицы F и G:

F = | 1 2 | G = | 3 4 | | 5 6 | | 7 8 | F + G = | 1+3 2+4 | | 5+7 6+8 | = | 4 6 | | 12 14 |F = | 1 2 | G = | 3 4 | | 5 6 | | 7 8 | F + G = | 1+3 2+4 | | 5+7 6+8 | = | 4 6 | | 12 14 |

Вычитание матриц

Вычитание матриц похоже на сложение, где вычитаются соответствующие элементы:

F - G = | 1-3 2-4 | | 5-7 6-8 | = | -2 -2 | | -2 -2 |F - G = | 1-3 2-4 | | 5-7 6-8 | = | -2 -2 | | -2 -2 |

Умножение матриц

Умножение матриц сложнее, чем сложение или вычитание. Чтобы умножить две матрицы, количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк во второй матрице.

Например, если H — матрица 2x3, а I — матрица 3x2, они могут быть умножены:

H = | 1 2 3 | I = | 1 2 | | 4 5 6 | | 3 4 | | 5 6 | HI = | (1×1 + 2×3 + 3×5) (1×2 + 2×4 + 3×6) | | (4×1 + 5×3 + 6×5) (4×2 + 5×4 + 6×6) | = | 22 28 | | 49 64 |H = | 1 2 3 | I = | 1 2 | | 4 5 6 | | 3 4 | | 5 6 | HI = | (1×1 + 2×3 + 3×5) (1×2 + 2×4 + 3×6) | | (4×1 + 5×3 + 6×5) (4×2 + 5×4 + 6×6) | = | 22 28 | | 49 64 |

Транспонирование матрицы

Транспонированная матрица получается путем инверсии строк и столбцов. Например, транспонированная матрица A записывается как A T:

A = | 1 2 3 | A T = | 1 4 | | 4 5 6 | | 2 5 | | 3 6 |A = | 1 2 3 | A T = | 1 4 | | 4 5 6 | | 2 5 | | 3 6 |

Определители и обратные

Определители и обратные важны для решения систем линейных уравнений и в различных приложениях матриц.

Определители

Определитель — это скалярное значение, которое можно вычислить из элементов квадратной матрицы и оно кодирует некоторые свойства матрицы.

Для матрицы 2x2 J:

J = | ab | | cd | det(J) = ad - bcJ = | ab | | cd | det(J) = ad - bc

Обратная матрица

Обратная матрица K, обозначаемая как K -1, — это матрица, которая при умножении на K дает единичную матрицу.

Матрица имеет обратную только в том случае, если ее определитель не равен нулю. Для матрицы 2x2:

K = | ab | | cd | K -1 = (1/ det(K)) * | d -b | | -ca | det(K) = ad - bc (не должно быть равно нулю)K = | ab | | cd | K -1 = (1/ det(K)) * | d -b | | -ca | det(K) = ad - bc (не должно быть равно нулю)

Применение матриц

Матрицы используются в различных областях, таких как компьютерная графика, инженерия, физика и статистика. Они необходимы для представления преобразований и моделирования сложных систем.

Компьютерная графика

В компьютерной графике матрицы представляют преобразования, такие как вращение, масштабирование и перенос, применяемые к изображениям и 3D моделям.

Системы линейных уравнений

Матрицы используются для решения систем линейных уравнений. Они упрощают сложные вычисления и используются в алгоритмах для решения уравнений эффективно.

Экономика и статистика

В экономике матрицы используются в межотраслевых моделях, а в статистике — в ковариационных матрицах и моделях линейной регрессии.

Заключение

Понимание матриц важно во многих областях математики и ее применениях. Выполняя операции с матрицами и изучая, как работать с особыми типами матриц, мы можем решать реальные задачи эффективно и быстро.


Бакалавриат → 1.1.1


U
username
0%
завершено в Бакалавриат

← предыдущая (1.1)
Линейная алгебра
следующая (1.1.2) →
Определители

комментарии 



Матрицы

https://www.buddymath.com/ug/1.1.1?bmal=ru