Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

Graduação → Álgebra → Álgebra linear ↓


Matrizes


Matriz é um conceito fundamental no campo da matemática, especialmente na álgebra linear. Vamos aprender em detalhes sobre o conceito de matriz, seus tipos, operações e diversas aplicações.

Introdução às matrizes

Uma matriz é um array bidimensional de números, dispostos em linhas e colunas. Os números dentro de uma matriz são chamados de seus elementos. Matrizes podem ser usadas para resolver sistemas de equações lineares, entre outras aplicações.

Por exemplo, considere a seguinte matriz:

A = | 1 2 3 | | 4 5 6 |A = | 1 2 3 | | 4 5 6 |

Esta matriz A tem duas linhas e três colunas. Portanto, é uma matriz 2x3 (lida como "dois por três").

Exemplo visual de uma matriz

123456

Tipos de matrizes

As matrizes podem ser classificadas em diferentes tipos dependendo de seu tamanho e da natureza de seus elementos. Aqui estão alguns tipos comuns:

Matriz linha

Uma matriz linha tem apenas uma linha. Por exemplo:

B = | 1 2 3 |B = | 1 2 3 |

Matriz coluna

Uma matriz coluna tem apenas uma coluna. Por exemplo:

C = | 1 | | 2 | | 3 |C = | 1 | | 2 | | 3 |

Matriz quadrada

Uma matriz quadrada tem o mesmo número de linhas e colunas. Por exemplo:

D = | 1 2 | | 3 4 |D = | 1 2 | | 3 4 |

Matriz diagonal

Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada onde todos os elementos diagonais são zero. Por exemplo:

E = | 1 0 | | 0 4 |E = | 1 0 | | 0 4 |

Operações de matrizes

As operações de matrizes são semelhantes às operações aritméticas com números. Normalmente realizamos adição, subtração e multiplicação em matrizes.

Adição de matrizes

Para somar duas matrizes, suas dimensões devem ser iguais. Elementos correspondentes são somados. Considere as matrizes F e G:

F = | 1 2 | G = | 3 4 | | 5 6 | | 7 8 | F + G = | 1+3 2+4 | | 5+7 6+8 | = | 4 6 | | 12 14 |F = | 1 2 | G = | 3 4 | | 5 6 | | 7 8 | F + G = | 1+3 2+4 | | 5+7 6+8 | = | 4 6 | | 12 14 |

Subtração de matrizes

A subtração de matrizes é semelhante à adição, onde subtraímos elementos correspondentes:

F - G = | 1-3 2-4 | | 5-7 6-8 | = | -2 -2 | | -2 -2 |F - G = | 1-3 2-4 | | 5-7 6-8 | = | -2 -2 | | -2 -2 |

Multiplicação de matrizes

A multiplicação de matrizes é mais complicada do que a adição ou subtração. Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz.

Por exemplo, se H é uma matriz 2x3 e I é uma matriz 3x2, elas podem ser multiplicadas:

H = | 1 2 3 | I = | 1 2 | | 4 5 6 | | 3 4 | | 5 6 | HI = | (1×1 + 2×3 + 3×5) (1×2 + 2×4 + 3×6) | | (4×1 + 5×3 + 6×5) (4×2 + 5×4 + 6×6) | = | 22 28 | | 49 64 |H = | 1 2 3 | I = | 1 2 | | 4 5 6 | | 3 4 | | 5 6 | HI = | (1×1 + 2×3 + 3×5) (1×2 + 2×4 + 3×6) | | (4×1 + 5×3 + 6×5) (4×2 + 5×4 + 6×6) | = | 22 28 | | 49 64 |

Transposição de uma matriz

A transposição de uma matriz é obtida invertendo as linhas e colunas. Por exemplo, a transposição de uma matriz A é escrita como A T:

A = | 1 2 3 | A T = | 1 4 | | 4 5 6 | | 2 5 | | 3 6 |A = | 1 2 3 | A T = | 1 4 | | 4 5 6 | | 2 5 | | 3 6 |

Determinantes e inversos

Determinantes e inversos são importantes na resolução de sistemas de equações lineares e em várias aplicações de matrizes.

Determinantes

O determinante é um valor escalar que pode ser calculado a partir dos elementos de uma matriz quadrada e que codifica algumas propriedades da matriz.

Para uma matriz 2x2 J:

J = | ab | | cd | det(J) = ad - bcJ = | ab | | cd | det(J) = ad - bc

Inverso

O inverso de uma matriz K, denotado por K - 1, é uma matriz que, quando multiplicada por K, resulta na matriz identidade.

Uma matriz tem inverso apenas se seu determinante não for zero. Para uma matriz 2x2:

K = | ab | | cd | K -1 = (1/det(K)) * | d -b | | -ca | det(K) = ad - bc (não deve ser zero)K = | ab | | cd | K -1 = (1/det(K)) * | d -b | | -ca | det(K) = ad - bc (não deve ser zero)

Aplicações de matrizes

Matrizes são usadas em várias áreas, como gráficos de computador, engenharia, física e estatística. Elas são essenciais na representação de transformações e no modelamento de sistemas complexos.

Gráficos de computador

Em gráficos de computador, matrizes representam transformações como rotação, escala e translação aplicadas a imagens e modelos 3D.

Sistemas de equações lineares

Matrizes são usadas para resolver sistemas de equações lineares. Elas simplificam cálculos complexos e são usadas em algoritmos para resolver equações de forma eficiente.

Economia e estatística

Em economia, matrizes são usadas em modelos de entrada e saída e, em estatística, são usadas em matrizes de covariância e modelos de regressão linear.

Conclusão

Compreender matrizes é importante em muitas áreas da matemática e suas aplicações. Ao realizar operações de matrizes e aprender a trabalhar com tipos especiais de matrizes, podemos resolver problemas do mundo real de forma eficiente e eficaz.


Graduação → 1.1.1


U
username
0%
concluído em Graduação

← Anterior (1.1)
Álgebra linear
Próximo (1.1.2) →
Determinantes

Comentários 



Matrizes

https://www.buddymath.com/ug/1.1.1?bmal=pt