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एकवचनीय मान अपघटन
रेखीय बीजगणित के क्षेत्र में, एकवचनीय मान अपघटन (SVD) एक मौलिक तकनीक है जो एक मैट्रिक्स को उसके अवयवों में विभाजित करने की शक्तिशाली विधि प्रदान करती है। एकवचनीय मान अपघटन का उपयोग सांकेतिक प्रसंस्करण, सांख्यिकी, और मशीन लर्निंग जैसे कई क्षेत्रों में विभिन्न अनुप्रयोगों में व्यापक रूप से किया जाता है। SVD को समझना उच्च-आयामी स्थानों में डेटा के व्यवहार को समझने में महत्वपूर्ण रूप से वृद्धि कर सकता है और विविध आयामों की कमी और डेटा संपीड़न कार्यों में मदद करता है।
एकवचनीय मान अपघटन का परिचय
एकवचनीय मान अपघटन एक विधि है जो एक मैट्रिक्स को तीन अलग-अलग मैट्रिक्स में विभाजित करती है। दिए गए मैट्रिक्स A जिसका आयाम mxn है, SVD इसे इस प्रकार व्यक्त करता है:
A = UΣVᵀ
जहाँ:
Uएकmxmलम्बवत मैट्रिक्स है।Σ(सिग्मा) एकmxnविकर्ण मैट्रिक्स है।Vएकnxnलम्बवत मैट्रिक्स है।
यहाँ, U और V लम्बवत मैट्रिक्स हैं, अर्थात उनकी स्तंभिका ऑर्थोनॉर्मल वेक्टर हैं।
दृश्यात्मक उदाहरण
एक साधारण 2x2 मैट्रिक्स A पर विचार करें:
A = [[4, 0],
[3, -5]]
इस प्रकार के मैट्रिक्स के लिए, SVD कारककरण निम्नलिखित होगा:
U = [[1, 0],
[0, 1]]
Σ = [[5, 0],
[0, 3]]
Vᵀ = [[0, 1],
[1, 0]]
इसे यू और वी द्वारा दर्शाए गए घूर्णन/प्रतिबिंब और विकर्ण मैट्रिक्स द्वारा दर्शायी जाने वाली स्केलिंग के रूप में समझा जा सकता है।
घटक को समझना
लम्बवत मैट्रिक्स U और V
लम्बवत मैट्रिक्स के विशेष गुण होते हैं। किसी मैट्रिक्स के लिए लम्बवत होने के लिए, प्रत्येक भिन्न स्तंभिका युग्म का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए, और प्रत्येक स्तंभिका का स्वयं से गुणनफल एक होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि मानक संरक्षित होता है। किसी मैट्रिक्स U के लिए:
UᵀU = I
इसी प्रकार V के लिए:
vᵀv = i
लम्बवत मैट्रिक्स को समझना महत्वपूर्ण है क्योंकि वे डेटा के ज्यामितीय गुणों जैसे कोण और लंबाई को संरक्षित करते हैं।
विकर्ण मैट्रिक्स Σ
विकर्ण मैट्रिक्स Σ मूल मैट्रिक्स A के एकवचनीय मान घटकों को संलग्न करता है। इन घटकों को U और V की स्तंभिकाओं द्वारा परिभाषित संबंधित दिशाओं के साथ खींचने वाले कारकों के रूप में देखा जा सकता है।
उदाहरण: हाथों से SVD की गणना करना
मैट्रिक्स को विचार में लें:
A = [[3, 1],
[1, 3]]
यहाँ एक चरण-दर-चरण गाइड है जिसे SVD की गणना करने के लिए।
चरण 1: AᵀA और AAᵀ की गणना करें
सबसे पहले, निम्नलिखित की गणना करें:
AᵀA = [[10, 6],
[6, 10]]
AAᵀ = [[10, 6],
[6, 10]]
चरण 2: गुणनफल और गुणनदंड खोजना
इन मैट्रिक्स के गुणनफल के गुणनदंड एकवचनीय मान घटकों को निर्धारित करने में सहायता करेंगे, जबकि गुणनफल लम्बवत मैट्रिक्स प्रदान करते हैं।
सौल्व {|AᵀA - λI| = 0} के रूप में गुणनदंड λ₁ = 16, λ₂ = 4 प्राप्त होते हैं।
Σ इस प्रकार बनता है:
Σ = [[4, 0],
[0, 2]]
चरण 3: V और U बनाना
AᵀA के गुणनफल के वेक्टरों से, हम V की गणना करते हैं:
V = [[1/√2, -1/√2],
[1/√2, 1/√2]]
इसी प्रकार, गुणनफल के वेक्टर AAᵀ से, U की गणना करें:
U = [[1/√2, -1/√2],
[1/√2, 1/√2]]
एकवचनीय मान अपघटन के अनुप्रयोग
डेटा संपीड़न
SVD का उपयोग डेटा को संकुचित करने के लिए किया जा सकता है। मैट्रिक्स U, Σ, और V को निचले आयामों तक काटकर महत्वपूर्ण डेटा संपीड़न न्यूनतम सूचना हानि के साथ प्राप्त किया जा सकता है।
संकेत प्रसंस्करण
संकेत प्रसंस्करण में, एकवचनीय मान घटक संकेत की 'आकृति' और 'संरचना' को पहचानने, शोर को छानने और महत्वपूर्ण विशेषताओं को प्रभावी ढंग से निकालने में मदद करते हैं।
छवि प्रसंस्करण में SVD का उदाहरण
ग्रे-स्केल छवियों को एक मैट्रिक्स के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। SVD का उपयोग करके, हम केवल सबसे बड़े एकवचनीय मान घटकों को संरक्षित करके छवि को संकुचित कर सकते हैं। यह तकनीक छवि को उसके मुख्य विशेषताओं को संरक्षित करते हुए छवि के आकार को कम करती है।
छवि मैट्रिक्स I पर विचार करें:
I = [[255, 240, 230],
[200, 180, 175],
[215, 196, 188]]
SVD लागू करना:
U = [[0.68, -0.72],
[0.68, 0.68]]
Σ = [[457, 0],
[0, 25]]
Vᵀ = [[0.60, -0.80],
[0.80, 0.60]]
केवल सबसे बड़े एकवचनीय मान घटक और उसके संबंधित वेक्टर को संरक्षित करके, छवि अपने मुख्य विशेषताओं को बनाए रखती है लेकिन डेटा अभ्यावेदन को सिकोड़ देती है।
निष्कर्ष
संक्षेप में, एकवचनीय मान अपघटन रेखीय बीजगणित में एक अनिवार्य उपकरण है, जो हमें मैट्रिक्स को सरल और अधिक व्याख्यात्मक घटकों के उत्पादों में विभाजित करने की शक्ति देता है। SVD को समझना न केवल हमारी गणितीय अंतर्दृष्टि को बढ़ाता है बल्कि कंप्यूटिंग, डेटा विज्ञान, और अभियंत्रण जैसे क्षेत्रों में व्यावहारिक कार्यों के लिए शक्तिशाली उपकरणों से भी लैस करता है।
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