Descomposición en valores singulares

En el campo del álgebra lineal, la descomposición en valores singulares (SVD) es una técnica fundamental que proporciona un método poderoso para descomponer una matriz en sus componentes constituyentes. La descomposición en valores singulares se utiliza ampliamente en muchas aplicaciones en diversos campos como el procesamiento de señales, la estadística y el aprendizaje automático. Comprender la SVD puede mejorar significativamente la comprensión de cómo se comportan los datos en espacios de alta dimensión y ayuda en varias tareas de reducción de dimensionalidad y compresión de datos.

Introducción a la descomposición en valores singulares

La descomposición en valores singulares es un método que descompone una matriz en tres matrices separadas. Dada una matriz A con dimensión mxn, SVD la expresa como:

A = UΣVᵀ

Dónde:

• U es una matriz ortogonal de dimensión mxm.
• Σ (sigma) es una matriz diagonal de dimensión mxn.
• V es una matriz ortogonal de dimensión nxn.

Aquí, U y V son matrices ortogonales, es decir, sus columnas son vectores ortonormales.

Ejemplo visual

Considere una matriz simple 2x2 A:

A = [[4, 0],
     [3, -5]]

Para tal matriz, la factorización SVD producirá:

U = [[1, 0],
     [0, 1]]

Σ = [[5, 0],
     [0, 3]]

Vᵀ = [[0, 1],
      [1, 0]]

Esto se puede entender como descomponer la matriz A en rotaciones/reflexiones representadas por U y V, y escalados representados por la matriz diagonal Σ.

Comprendiendo los componentes

Matrices ortogonales U y V

Las matrices ortogonales tienen propiedades especiales. Para que una matriz sea ortogonal, el producto punto de cada par de columnas distintas debe ser cero, y el producto punto de cada columna consigo misma debe ser uno, lo que significa que la norma se preserva. Para una matriz U:

UᵀU = I

De manera similar para V:

vᵀv = i

Es importante entender las matrices ortogonales porque preservan las propiedades geométricas de los datos, como ángulos y longitudes.

Matriz diagonal Σ

La matriz diagonal Σ contiene los valores singulares de la matriz original A. Estos valores se pueden ver como factores de estiramiento a lo largo de las direcciones respectivas definidas por las columnas de U y V.

Ejemplo: Cálculo de la SVD a mano

Considere la matriz:

A = [[3, 1],
     [1, 3]]

A continuación, una guía paso a paso para calcular la SVD.

Paso 1: Calcular AᵀA y AAᵀ

Primero, calcule lo siguiente:

AᵀA = [[10, 6],
       [6, 10]]

AAᵀ = [[10, 6],
       [6, 10]]

Paso 2: Encontrar los valores propios y los vectores propios

Los valores propios de estas matrices ayudarán a determinar los valores singulares, mientras que los vectores propios proporcionan las matrices ortogonales.

Resolviendo {|AᵀA - λI| = 0} se obtienen los valores propios λ₁ = 16, λ₂ = 4.

Σ así se convierte en:

Σ = [[4, 0],
     [0, 2]]

Paso 3: Construir V y U

A partir de los vectores propios de AᵀA, calculamos V:

V = [[1/√2, -1/√2],
     [1/√2, 1/√2]]

De manera similar, a partir de los vectores propios de AAᵀ, calculamos U:

U = [[1/√2, -1/√2],
     [1/√2, 1/√2]]

Aplicaciones de la descomposición en valores singulares

Compresión de datos

SVD se puede utilizar para comprimir datos. Truncando las matrices U, Σ y V a dimensiones inferiores, se puede lograr una compresión de datos significativa con mínima pérdida de información.

Procesamiento de señales

En el procesamiento de señales, los valores singulares pueden ayudar a identificar la 'forma' y 'estructura' de una señal, eliminar el ruido y analizar características importantes de manera efectiva.

Ejemplo de SVD en procesamiento de imágenes

Las imágenes en escala de grises se pueden representar como una matriz. Usando SVD, podemos comprimir una imagen manteniendo solo los valores singulares más grandes. Esta técnica reduce el tamaño de la imagen mientras preserva sus características principales.

Considere una matriz de imagen I:

I = [[255, 240, 230],
     [200, 180, 175],
     [215, 196, 188]]

Aplicando SVD:

U = [[0.68, -0.72],
     [0.68, 0.68]]

Σ = [[457, 0],
     [0, 25]]

Vᵀ = [[0.60, -0.80],
      [0.80, 0.60]]

Al mantener solo el mayor valor singular y sus vectores correspondientes, la imagen conserva sus características principales pero reduce la representación de datos.

Conclusión

En resumen, la Descomposición en Valores Singulares es una herramienta indispensable en álgebra lineal, que nos da el poder de descomponer una matriz en productos de componentes más simples y más interpretables. Comprender la SVD no solo mejora nuestra intuición matemática, sino que también nos equipa con herramientas poderosas para tareas prácticas en campos como la computación, la ciencia de datos y la ingeniería.

Comentarios