पूरक कार्यक्रम
संभाव्यता की दुनिया में, मौलिक अवधारणाओं में से एक विभिन्न प्रकार की घटनाओं को समझना है। इनमें, पूरक घटनाएं एक महत्वपूर्ण आधारशिला हैं। इस विस्तृत चर्चा में, हम गहराई से जानेंगे कि पूरक घटनाएं क्या होती हैं, वे कैसे काम करती हैं, और क्यों वे संभाव्यता की व्यापक योजना में महत्वपूर्ण हैं। हमारा लक्ष्य है कि हम इस स्पष्टीकरण को सरल बनाएं ताकि छात्र आसानी से इस अवधारणा को समझ सकें और इसे विभिन्न समस्याओं में लागू कर सकें।
संभाव्यता में घटनाओं की समझ
पूरक घटनाओं का पता लगाने से पहले, यह समझना महत्वपूर्ण है कि संभाव्यता में 'घटना' का क्या अर्थ है। एक घटना किसी यादृच्छिक प्रयोग के लिए किसी विशेष परिणाम या परिणामों के सेट को दर्शाती है। एक घटना को नमूना स्थान के उपसमुच्चय के रूप में सोचें, जो उस प्रयोग के सभी संभाव्य परिणामों का सेट है।
उदाहरण के लिए, एक निष्पक्ष छः-तरफा पासा लें। एकल रोल के लिए नमूना स्थान इन संख्याओं को शामिल करता है: {1, 2, 3, 4, 5, 6}। एक घटना का उदाहरण हो सकता है कोई सम संख्या निकालना, जो संख्याओं {2, 4, 6} को शामिल करती है।
पूरक घटनाएं क्या हैं?
अब जब हम जानते हैं कि घटनाएं क्या होती हैं, हम पूरक घटनाओं के बारे में बात कर सकते हैं। पूरक घटनाएं घटनाओं की एक जोड़ी होती हैं जहां एक घटना तभी होती है जब दूसरी घटना नहीं होती है। सरल शब्दों में, वे परस्पर अनन्य होती हैं। इसका मतलब यह है कि दोनों घटनाएं एक ही समय में नहीं हो सकतीं, और उनके बीच में, वे प्रयोग के सभी संभाव्य परिणामों को कवर करती हैं।
यदि हम किसी घटना को A से इंगित करते हैं, तो घटना A के पूरक को आमतौर पर A' या कभी-कभी A^c से इंगित किया जाता है। यहां मुख्य अवधारणा यह है कि यदि A वह घटना है जो कुछ होता है, तो A' वह घटना है जो इस कुछ के नहीं होने का कारण बनती है।
गणितीय निरूपण
घटना A और उसके पूरक A' की संभावना को गणितीय रूप से निम्नलिखित रूप में संक्षेपित किया जा सकता है:
P(A) + P(A') = 1
यह समीकरण बताता है कि घटना A होने की संभावना और घटना A के नहीं होने की संभावना का योग 1 या 100% होता है। इसका कारण यह है कि दोनों परिणामों के विचार (घटना A का होना और घटना A का नहीं होना) सम्पूर्ण संभाव्यता स्थान को कवर करते हैं।
पूरक घटनाओं का दृश्यावलोकन
इसे बेहतर तरीके से समझने के लिए, आइए कुछ आरेखों पर नज़र डालें। एक वृत्त की कल्पना करें जो नमूना स्थान का प्रतिनिधित्व करता है, और इसके भीतर, वृत्त का एक हिस्सा घटना A का प्रतिनिधित्व करता है। वृत्त के शेष भाग A के पूरक का प्रतिनिधित्व करता है:
पूरक घटनाओं के उदाहरण
हमारे उदाहरणों को जारी रखते हुए, आइए कुछ परिदृश्यों पर नज़र डालें जहां पूरक घटनाएं संभाव्यता को समझने में आसान बनाती हैं:
उदाहरण 1: सिक्का उछालना
पूरक घटनाओं के सबसे सरल उदाहरणों में से एक है सिक्का उछालना। जब एक सिक्का उछाला जाता है, तो दो संभावित परिणाम होते हैं: हेड्स (H) या टेल्स (T)।
- माना घटना
Aमें हेड्स आता है। तोA = {H}। - घटना
Aका पूरक हेड्स का न आना होता है, जोकि टेल्स का आना है। इसलिएA' = {T}।
संभावनाएं निम्नलिखित के रूप में गणना की जा सकती हैं:
P(A) = 0.5 P(A') = 1 - P(A) = 0.5
उदाहरण 2: एकल पासा रोल
अपने छः-तरफा पासे पर फिर से विचार करें। क्या होता है अगर चार से कम नंबर आता है?
- माना घटना
Bहोती है कि चार से कम संख्या आती है। तोB = {1, 2, 3}। - घटना
Bका पूरक (जिसेB'से सूचित किया जाता है) होता है चार या उससे अधिक संख्या का आना। तोB' = {4, 5, 6}।
संभावनाएं निम्नलिखित के रूप में गणना की जा सकती हैं:
P(B) = 3/6 = 0.5 P(B') = 1 - P(B) = 3/6 = 0.5
वास्तविक जीवन के परिदृश्यों में पूरक घटनाओं का आवेदन
पूरक घटनाओं की समझ वास्तविक जीवन के परिदृश्यों को समझने में भी मदद करती है जहां संभाव्यता पूर्वानुमान शामिल होते हैं। आइए कुछ वास्तविक जीवन के उदाहरणों पर विचार करें:
उदाहरण 3: मौसम पूर्वानुमान
मौसम पूर्वानुमान अक्सर संभावनाओं के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, एक मौसम रिपोर्ट कह सकती है कि कल बारिश की 70% संभावना है।
- माना घटना
Cहोती है कि कल बारिश होगी। तो,P(C) = 0.7। - फिर, पूरक घटना
C'होती है कि कल बारिश नहीं होगी। तो,P(C') = 1 - 0.7 = 0.3।
उदाहरण 4: गुणवत्ता नियंत्रण
मान लें एक फैक्ट्री का गुणवत्ता नियंत्रण सिस्टम है जो उत्पादों में दोष ढूंढ़ता है, और यह पाता है कि 5% उत्पाद दोषपूर्ण हैं।
- घटना
Dहो कि उत्पाद दोषपूर्ण है। तो,P(D) = 0.05। - पूरक घटना
D'होगी कि उत्पाद दोषपूर्ण नहीं है। इसलिए,P(D') = 1 - 0.05 = 0.95।
पूरक घटनाओं का उपयोग करके समस्याओं का समाधान
पूरक घटनाओं की समझ समस्याओं का समाधान करना भी आसान बना सकती है। किसी घटना के पूरक की गणना करके, कभी-कभी हम उत्तर तक अधिक तेजी से या आसानी से पहुँच सकते हैं। एक उदाहरण पर विचार करें जहां यह दृष्टिकोण उपयोगी हो सकता है:
उदाहरण 5: डेक से कार्ड खींचना
मान लें आप 52 कार्डों के मानक डेक से एक कार्ड खींचते हैं। यदि आप प्रतिस्थापन के बिना दो कार्ड खींचते हैं, तो एक हृदय खींचने की क्या संभावना है?
- यह हो सकता है कि पूरक घटना की गणना करना आसान हो, जोकि बिल्कुल भी हृदय खींचना नहीं है।
- पहले कार्ड के हृदय न होने की संभावना है
P(पहला कार्ड हृदय नहीं) = 39/52। - यदि पहला कार्ड हृदय नहीं है, तो 51 कार्ड बचे हैं, और उनमें से 38 हृदय नहीं हैं। तो,
P(दूसरा कार्ड हृदय नहीं | पहला हृदय नहीं) = 38/51।
इस प्रकार, कोई भी हृदय न खींचने की संभावना है:
P(कोई हृदय न खींचा गया) = (39/52) * (38/51)
फिर, पूरक की संभावना, जो है कम से कम एक हृदय खींचने की संभावना:
P(कम से कम एक हृदय) = 1 - P(कोई हृदय न खींचा गया)
अभ्यास के लिए अभ्यास
पूरक घटनाओं की अपनी समझ को मजबूत करने के लिए, इन अतिरिक्त अभ्यासों को हल करने का प्रयास करें। आपके काम की जाँच के लिए उत्तर दिए गए हैं:
- एक बैग में 10 लाल गेंदें और 5 नीली गेंदें हैं। एक लाल गेंद खींचने की क्या संभावना है?
- यदि एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है, तो कम से कम एक बार हेड्स आने की क्या संभावना है?
- एक छात्र 4 प्रश्नों की सच्ची या झूठी प्रश्नोत्तरी के सभी उत्तरों का अनुमान लगाता है। सभी उत्तर सही होने की क्या संभावना है?
निष्कर्ष
पूरक घटनाओं की समझ संभाव्यता अवधारणाओं में महारथ हासिल करने के लिए महत्वपूर्ण है। यह समझकर कि किसी घटना और उसके पूरक की संभावना का योग एक होता है, हम कई संभाव्यता चुनौतियों का सामना अधिक आसानी से कर सकते हैं। पूरक घटनाएं कई परिदृश्यों में संभाव्यता की गणना को सरल बनाती हैं, सैद्धांतिक और वास्तविक दुनिया दोनों में।
नीचे की पंक्ति यह है: पूरक घटनाओं की पहचान में सहज बनें, और इस अवधारणा का उपयोग उपकरण के रूप में करें ताकि आप संभाव्यता समस्याओं को कुशलता और प्रभावी ढंग से हल कर सकें।
अभ्यास के उत्तर
- एक लाल गेंद खींचने की संभावना है:
P(लाल) = 10/15 = 2/3। - एक सिक्का तीन बार उछालने पर 8 संभावित परिणाम होते हैं। इन परिणामों में से केवल 1 परिणाम सभी टेल्स होगा। इसलिए,
P(कम से कम एक हेड्स) = 1 - 1/8 = 7/8। - सभी उत्तर सही अनुमान लगाने की संभावना है
(1/2)^4 = 1/16।
टिप्पणियाँ