अनुभवजन्य प्रायिकता
प्रायिकता गणित का एक आकर्षक क्षेत्र है जो यह अनुमान लगाने की कोशिश करता है कि घटनाएँ कितनी संभावित हैं। इसका उपयोग जुआ, सांख्यिकी, वित्त, विज्ञान, और कई अन्य क्षेत्रों में होता है। कक्षा 10 के गणित में, प्रायिकता से संबंधित एक महत्वपूर्ण अवधारणा जो हम सीखते हैं, वह है "अनुभवजन्य प्रायिकता।" यह अवधारणा यह समझने के लिए महत्वपूर्ण है कि सिद्धांत रूप में अपेक्षित प्रायिकता और वास्तविक जीवन में, जब हम प्रयोग या परीक्षण करते हैं, क्या होता है।
अनुभवजन्य प्रायिकता क्या है?
अनुभवजन्य प्रायिकता वह प्रायिकता है जो वास्तविक प्रयोग के परिणामों के आधार पर गणना की जाती है। यह सिद्धांतात्मक प्रायिकता के विपरीत है, जो इस आधार पर होती है कि घटनाएँ सिद्धांत में कैसे घटित होनी चाहिए, अनुभवजन्य प्रायिकता हमें यह देखने की अनुमति देती है कि जब हम परीक्षण करते हैं तो वास्तव में क्या होता है।
गणितीय रूप से, अनुभवजन्य प्रायिकता को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
अनुभवजन्य प्रायिकता = (घटना के घटित होने की संख्या) / (कुल परीक्षणों की संख्या)इसका अर्थ है: - "घटना के घटित होने की संख्या" से तात्पर्य यह है कि आप जितनी बार उस परिणाम को प्राप्त करते हैं जिसमें आप रुचि रखते हैं। - "प्रयासों की कुल संख्या" का मतलब यह है कि आपने प्रयोग या गतिविधि कितनी बार की है।
एक सरल उदाहरण
कल्पना कीजिए कि आप एक छह पृष्ठीय पासा 100 बार फेंकते हैं। आप 4 प्राप्त करने की अनुभवजन्य प्रायिकता का पता लगाना चाहते हैं। आप पासा फेंकते हैं और देखते हैं कि 4 18 बार आता है।
उस फार्मूला का उपयोग करें जो हमने अभी देखा:
4 के लिए फेंकने की अनुभवजन्य प्रायिकता = 18 / 100 = 0.18इस उदाहरण में, 4 की अनुभवजन्य प्रायिकता 0.18 है, जिसका मतलब आपके प्रयोग के आधार पर 4 प्राप्त करने की प्रायिकता 18% है।
दृश्य उदाहरण: सिक्का फेंकना
अनुभवजन्य प्रायिकता का एक और क्लासिक उदाहरण सिक्का फेंकना है। चलो इसे दृश्य की सहायता से समझने की कोशिश करें।
मान लें कि आप एक सिक्का 50 बार पलटते हैं। वास्तविक परिस्थितियों में, औसत लोग अपेक्षा करते हैं कि "हेड्स" समय का आधा भाग आएगा और "टेल्स" आधा समय। लेकिन ऐसा हमेशा नहीं हो सकता। मान लें कि आपके प्रयोग का परिणाम 28 हेड्स और 22 टेल्स है।
हेड्स प्राप्त करने की अनुभवजन्य प्रायिकता का पता लगाने के लिए, आप फार्मूला लागू करते हैं:
हेड्स प्राप्त करने की अनुभवजन्य प्रायिकता = 28 / 50 = 0.56इसी तरह, टेल्स के लिए अनुभवजन्य प्रायिकता का पता लगाने के लिए:
टेल्स प्राप्त करने की अनुभवजन्य प्रायिकता = 22 / 50 = 0.44इसका मतलब है कि आपके प्रयोग के आधार पर हेड्स के लिए अनुभवजन्य प्रायिकता 56% और टेल्स के लिए 44% है।
अनुभवजन्य प्रायिकता को सैद्धांतिक प्रायिकता से जोड़ना
सैद्धांतिक प्रायिकता में, आप उम्मीद करते हैं कि एक निष्पक्ष सिक्के के हेड्स के लिए प्रायिकता 0.5 और टेल्स के लिए 0.5 होगी क्योंकि दोनों परिणाम समान रूप से संभावित हैं। हालाँकि, अनुभवजन्य प्रायिकता कभी-कभी सैद्धांतिक प्रायिकता से भिन्न होती है क्योंकि मौका और परीक्षणों की संख्या।
मुख्य विचार यह है कि जैसे-जैसे आप परीक्षणों की संख्या (या प्रयोग) बढ़ाते हैं, अनुभवजन्य प्रायिकता सैद्धांतिक प्रायिकता के करीब पहुँचती जाती है। इसे "संख्याओं का बड़ा नियम" कहा जाता है।
पासा के साथ उदाहरण
आइए एक छह पृष्ठीय पासा फेंकने पर विचार करें। किसी संख्या (जैसे, 3) के लिए सैद्धांतिक प्रायिकता है
प्रायिकता (3) = 1/6 ≈ 0.166यदि आप एक प्रयोग में पासा 100 बार फेंकते हैं और केवल 15 बार 3 प्राप्त करते हैं, तो अनुभवजन्य प्रायिकता है:
अनुभवजन्य प्रायिकता (3) = 15 / 100 = 0.15यहाँ, अनुभवजन्य और सैद्धांतिक प्रायिकताएँ करीब हैं। अगर आप पासा फेंकते रहते हैं और परीक्षणों की संख्या को 1000 तक बढ़ाते हैं, तो आप पाएंगे कि अनुभवजन्य प्रायिकता 0.166 के भी करीब होती जा रही है।
अधिक दृश्यात्मक उदाहरणों के माध्यम से समझना
पासा रोल दृश्य
मान लीजिए कि दो छह पृष्ठीय पासा एक साथ फेंके जा रहे हैं, और आप इस बात की प्रायिकता में रुचि रखते हैं कि योग 7 होगा। नीचे दो पासा फेंकने पर संभावित योग का एक संक्षिप्त चित्रण है:
मान लीजिए कि इस प्रयोग में आप दो पासा 200 बार फेंकते हैं, और 30 बार आपको पाते हैं कि योग 7 के बराबर है।
अनुभवजन्य प्रायिकता (योग 7) = 30 / 200 = 0.15इसलिए, इस प्रयोग में, योग 7 प्राप्त करने की प्रायिकता 0.15 (जो 15% है) है।
अनुभवजन्य प्रायिकता को प्रभावित करने वाले कारक
- प्रयोग से प्राप्त वास्तविक परिणाम।
- किए गए परीक्षणों या प्रयोगों की संख्या।
- अनुभवजन्य परिणामों को प्रभावित करने वाले यादृच्छिक चर।
- मापन और अवलोकन तकनीकों की सटीकता।
आप जितने अधिक परीक्षण करते हैं, अनुभवजन्य प्रायिकता उतनी ही विश्वसनीय होती है। यह अवधारणा विश्वसनीय परिणाम प्राप्त करने के लिए उपयुक्त संख्या में प्रयोग करने के महत्व को उजागर करती है।
निष्कर्ष
संक्षेप में, अनुभवजन्य प्रायिकता हमें यह समझने में मदद करती है कि जब वास्तविक दुनिया में परीक्षण किया जाता है तो कोई घटना कितनी बार घटित होगी। यह हमें किए गए परीक्षणों और प्रयोगों के वास्तविक परिणामों से निपटते हुए सिद्धांत रूप में स्थित अवधारणाओं का एक व्यावहारिक दृष्टिकोण प्रदान करता है। जैसे-जैसे आप इसके साथ छेड़छाड़ करते हैं और अधिक प्रयोग करते हैं, अपेक्षित और देखे गए परिणामों के बीच का अंतर कम होता जाता है, जो आपको प्रायिकता की कभी आकर्षक दुनिया में गहरी अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।
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