Меры изменения

В статистике концепция «меры изменения» очень важна. Она показывает, насколько расширяется или изменяется набор данных. Проще говоря, хотя вы можете знать среднее значение группы чисел, меры изменения помогают понять, насколько далеко другие числа обычно находятся от этого среднего значения. Давайте рассмотрим это подробнее.

Понимание изменения на примере

Представьте, что у нас есть два небольших набора чисел, представляющих оценки, полученные двумя студентами по пяти разным предметам:

• Студент А: 80, 85, 78, 90, 82
• Студент B: 60, 95, 70, 100, 55

Средний балл (среднее значение) у студента A и студента B составляет 83. Однако у них есть некоторые различия в выступлениях, которые мы можем понять с помощью мер изменения. В то время как оценки студента A близки друг к другу, оценки студента B существенно различаются. Это различие в изменении является тем, что измеряют меры изменения.

Типы мер изменения

Существует несколько способов измерения изменения данных. Наиболее распространенная мера изменения:

1. Категория
2. Квартиль и межквартильный размах
3. Дисперсия
4. Стандартное отклонение
5. Среднее абсолютное отклонение

Категория

Самая простая мера изменения — это размах. Размах измеряется как разница между максимальным и минимальным значениями в наборе данных. Формула для расчета размаха следующая:

Размах = Максимальное значение - Минимальное значение

Используем наш пример:

• Студент А: Размах = 90 – 78 = 12
• Студент B: Размах = 100 – 55 = 45

Как вы видите, оценки студента B более разбросаны, что указывает на то, что оценки более разделены, чем у студента A.

Квартиль и межквартильный размах

Квартили делят набор данных на четыре равные части. Это помогает понять разброс более подробно, сосредотачиваясь не только на крайностях, но и на средних значениях. Межквартильный размах (IQR) — это разница между третьим квартилем (Q3) и первым квартилем (Q1). Это мера размаха в среднем 50% данных:

IQR = Q3 - Q1

Для каждого студента расставьте оценки в порядке возрастания для нахождения квартилей:

• Студент А: 78, 80, 82, 85, 90
• Студент B: 55, 60, 70, 95, 100

Для студента А:

• Q1 = 80, Q2 (медиана) = 82, Q3 = 85

Для студента B:

• Q1 = 60, Q2 (медиана) = 70, Q3 = 95

Следовательно, IQR для студента А: 85 - 80 = 5, а для студента В: 95 - 60 = 35.

Дисперсия

Дисперсия — это мера того, насколько каждая числа в наборе данных отличаются от среднего квадрата. Это более сложная, но очень полезная мера. Формула для расчета дисперсии следующая:

Дисперсия (σ²) = Σ (xᵢ - x̄)² / N

Где:

• Σ означает сумму...
• xᵢ обозначает каждое отдельное число в наборе
• x̄ обозначает среднее значение чисел
• N обозначает количество наблюдений в наборе

Для практической демонстрации рассчитаем дисперсию для оценок студента A:

• Среднее = 83
• (80-83)² + (85-83)² + (78-83)² + (90-83)² + (82-83)² = 9 + 4 + 25 + 49 + 1 = 88
• Дисперсия = 88 / 5 = 17,6

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение — это просто квадратный корень из дисперсии и дает нам ясную, эквивалентную по масштабу меру разброса. Формула следующая:

Стандартное отклонение (σ) = √Дисперсия

Используя дисперсию студента А, стандартное отклонение составляет √17,6 ≈ 4,2.

Это число дает хорошее представление о том, насколько разбросан набор данных в единицах оригинала, в данном случае числах.

Среднее абсолютное отклонение

Еще одна простая мера изменения — это среднее абсолютное отклонение (MAD). Это среднее из абсолютных различий между каждой точкой данных и средним:

MAD = Σ |xᵢ - x̄| / N

Для студента А:

• Среднее = 83
• |80-83| + |85-83| + |78-83| + |90-83| + |82-83| = 3 + 2 + 5 + 7 + 1 = 18
• MAD = 18 / 5 = 3,6

Почему меры изменения важны

Понимание мер изменения предоставляет важную информацию о наборе данных:

• Оценка риска: В финансах понимание риска (дисперсии) инвестиций.
• Контроль качества: В производстве гарантирование того, что продукты соответствуют определенному стандарту, а изменения сведены к минимуму.
• Сравнительный анализ: В образовании, сравнение производительности по различным оценкам.

Заключение

Меры изменения помогают нам лучше понять данные, выходящие за рамки просто знания среднего. Они показывают, насколько разбросаны данные, риски или изменчивость. От простых расчетов, таких как размах, до сложных расчетов, как дисперсия и стандартное отклонение, каждая мера предоставляет уникальные сведения, которые приводят к более полному анализу данных.

комментарии