Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Medidas de dispersión


En estadística, el concepto de "medidas de dispersión" es muy importante. Nos indica cuánto se dispersa o varía un conjunto de datos. Para simplificar, aunque puedas conocer el promedio de un grupo de números, las medidas de dispersión te ayudan a entender qué tan lejos caen típicamente otros números de este promedio. Veamos esto con más detalle.

Entendiendo la dispersión con un ejemplo

Imagina que tenemos dos pequeños conjuntos de números que representan las calificaciones obtenidas por dos estudiantes en cinco materias diferentes:

  • Estudiante A: 80, 85, 78, 90, 82
  • Estudiante B: 60, 95, 70, 100, 55

Tanto el Estudiante A como el Estudiante B tienen una calificación promedio (media) de 83. Sin embargo, hay alguna diferencia en su rendimiento, que podemos entender utilizando medidas de dispersión. Mientras que las calificaciones del Estudiante A están cercanas entre sí, las calificaciones del Estudiante B varían ampliamente. Esta diferencia en la dispersión es exactamente lo que miden las medidas de dispersión.

Tipos de medidas de dispersión

Hay varias formas de medir la dispersión de los datos. La medida más común de dispersión es:

  1. Categoría
  2. Rango Cuartil e Intercuartil
  3. Varianza
  4. Desviación Estándar
  5. Desviación media absoluta

Categoría

La medida más simple de dispersión es el rango. El rango mide la diferencia entre los valores máximo y mínimo en un conjunto de datos. La fórmula para calcular el rango es:

Rango = Valor Máximo - Valor Mínimo

Usando nuestro ejemplo:

  • Estudiante A: Rango = 90 – 78 = 12
  • Estudiante B: Rango = 100 – 55 = 45

Como puedes ver, las calificaciones del Estudiante B están más dispersas, lo que indica que las calificaciones están más dispersas que las del Estudiante A.

55 60 70 95 100

Rango cuartil e intercuartil

Los cuartiles dividen nuestro conjunto de datos en cuatro partes iguales. Esto nos ayuda a entender la dispersión con más detalle, centrándonos no solo en los extremos sino también en los valores medios. El rango intercuartil (IQR) es la diferencia entre el tercer cuartil (Q3) y el primer cuartil (Q1). Es una medida de la dispersión en el 50% medio de los datos:

IQR = Q3 - Q1

Para cada estudiante, organiza las calificaciones en orden ascendente para encontrar los cuartiles:

  • Estudiante A: 78, 80, 82, 85, 90
  • Estudiante B: 55, 60, 70, 95, 100

Para el Estudiante A:

  • Q1 = 80, Q2 (mediana) = 82, Q3 = 85

Para el Estudiante B:

  • Q1 = 60, Q2 (mediana) = 70, Q3 = 95

Por lo tanto, el IQR para el estudiante A: 85 - 80 = 5 y para el estudiante B: 95 - 60 = 35.

Varianza

La varianza es una medida de cuánto varía cada número en un conjunto de datos del cuadrado de la media. Es más compleja, pero muy útil. La fórmula para calcular la varianza es:

Varianza (σ²) = Σ (xᵢ - x̄)² / N

Donde:

  • Σ significa la suma...
  • xᵢ es cada número individual en el conjunto
  • x̄ es la media de los números
  • N es el número de observaciones en el conjunto

Para una demostración práctica, calculemos la varianza para las calificaciones del Estudiante A:

  • Media = 83
  • (80-83)² + (85-83)² + (78-83)² + (90-83)² + (82-83)² = 9 + 4 + 25 + 49 + 1 = 88
  • Varianza = 88 / 5 = 17.6
Media

Desviación estándar

La desviación estándar es simplemente la raíz cuadrada de la varianza y nos da una medida clara y equivalente en escala de la dispersión. La fórmula es:

Desviación Estándar (σ) = √Varianza

Utilizando la varianza del Estudiante A, la desviación estándar es √17.6 ≈ 4.2.

Este número da una buena idea de qué tan disperso está el conjunto de datos en términos de las unidades originales, en este caso números.

Desviación media absoluta

Otra medida simple de dispersión es la desviación media absoluta (MAD). Esta es el promedio de las diferencias absolutas entre cada punto de datos y la media:

MAD = Σ |xᵢ - x̄| / N

Usando el Estudiante A:

  • Media = 83
  • |80-83| + |85-83| + |78-83| + |90-83| + |82-83| = 3 + 2 + 5 + 7 + 1 = 18
  • MAD = 18 / 5 = 3.6

Por qué las medidas de dispersión son importantes

Comprender las medidas de dispersión proporciona una perspectiva esencial sobre un conjunto de datos:

  • Evaluación de Riesgos: En finanzas, comprender el riesgo (varianza) de una inversión.
  • Aseguramiento de la Calidad: En manufactura, asegurando que los productos cumplan con un cierto estándar y que las variaciones se mantengan al mínimo.
  • Análisis Comparativo: En educación, comparando el rendimiento en diferentes evaluaciones.

Conclusión

Las medidas de dispersión nos ayudan a comprender mejor los datos más allá de solo conocer el promedio. Muestran qué tan dispersos están los datos, los riesgos involucrados o la volatilidad. Desde cálculos simples como el rango hasta cálculos complejos como la varianza y la desviación estándar, cada medida proporciona ideas únicas, llevando a un análisis más rico de los datos.


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