Стандартное отклонение и дисперсия

В области статистики понимание того, как данные распределяются, так же важно, как и знание их центральной тенденции. Два ключевых понятия, которые помогают нам понять, как данные распределяются, — это "дисперсия" и "стандартное отклонение". Это основные меры рассеяния, которые показывают, насколько значения в наборе данных отклоняются от среднего или среднего значения.

Понимание распределения

Прежде чем мы перейдем к дисперсии и стандартному отклонению, давайте быстро рассмотрим идею дисперсии. Дисперсия в статистике относится к степени растяжения или сжатия распределения. Общие способы измерения дисперсии включают:

• Категория
• Спор
• Стандартное отклонение

Размах — это самая простая форма дисперсии. Он рассчитывается как разница между максимальным и минимальным значениями набора данных. Однако одного диапазона недостаточно для понимания распределения данных, так как он учитывает только два крайних значения. Вот где играют свою роль дисперсия и стандартное отклонение.

Что такое дисперсия?

Дисперсия дает нам меру того, насколько числа в наборе данных отличаются от среднего значения. Другими словами, она говорит нам о степени рассеяния в данных. Чем больше дисперсия, тем больше разрозненности чисел.

Проще говоря, дисперсия — это среднее значение квадратов разностей между каждой точкой данных и средним значением набора данных. Квадрат разностей гарантирует, что мы не получим дисперсию равную нулю, поскольку положительные и отрицательные разности нейтрализуют друг друга.

Формула дисперсии

Формула для вычисления дисперсии выглядит следующим образом:

Дисперсия (σ²) = Σ (xᵢ - μ)² / N

Где:

• σ² — это дисперсия.
• xᵢ представляет каждое значение в наборе данных.
• μ — это среднее значение набора данных.
• N — это количество точек данных.

Пример расчета дисперсии

Давайте рассмотрим простой пример, чтобы понять, как рассчитывается дисперсия. Предположим, у нас есть следующий набор данных: 2, 4, 6, 8, 10.

1. Рассчитайте среднее значение (среднее) набора данных.

   Среднее (μ) = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6

2. Вычислите разность между каждой точкой данных и средним значением, затем возведите эти разности в квадрат.

   (2 - 6)² = 16 (4 - 6)² = 4 (6 - 6)² = 0 (8 - 6)² = 4 (10 - 6)² = 16

3. Найдите среднее значение этих квадратов разностей (дисперсия).

   Дисперсия (σ²) = (16 + 4 + 0 + 4 + 16) / 5 = 8

Таким образом, дисперсия этого набора данных равна 8.

Что такое стандартное отклонение?

Стандартное отклонение — это еще одна мера рассеяния, основанная на дисперсии и дающая нам статистику, которую легко интерпретировать. Оно определяется как квадратный корень из дисперсии. Стандартное отклонение показывает, насколько значения данных отклоняются от среднего значения и предоставляет это значение в тех же единицах, что и данные.

Проще говоря, хотя дисперсия дает нам хорошую меру рассеяния, она выражена в квадратных единицах. Стандартное отклонение, будучи квадратным корнем из дисперсии, преобразует эти квадратные единицы обратно в исходные единицы данных, делая его более интерпретируемым.

Формула стандартного отклонения

Формула для вычисления стандартного отклонения выглядит следующим образом:

Стандартное отклонение (σ) = √Дисперсия = √(Σ (xᵢ - μ)² / N)

Пример расчета стандартного отклонения

Продолжая наш предыдущий пример расчета дисперсии, мы можем легко рассчитать стандартное отклонение набора данных: 2, 4, 6, 8, 10.

1. Мы уже установили, что дисперсия равна 8.
2. Вычислите квадратный корень из дисперсии, чтобы получить стандартное отклонение.

   Стандартное отклонение (σ) = √8 ≈ 2.83

Стандартное отклонение этого набора данных составляет приблизительно 2,83, что дает нам меру рассеяния в исходных единицах данных.

Почему дисперсия и стандартное отклонение важны?

Важность дисперсии и стандартного отклонения становится очевидной, когда нам нужно понять изменчивость и консистентность набора данных. Эти понятия позволяют нам:

• Сравнивать наборы данных: Они предоставляют способ сравнения распределения различных наборов данных. Например, два набора данных с одинаковым средним значением могут иметь разные уровни изменчивости.
• Оценивать риски: В сфере финансов большее стандартное отклонение может указывать на более высокий риск, связанный с инвестициями.
• Контроль качества: В производстве продукты с меньшим изменением размеров свидетельствуют о лучшем контроле качества.

Пример текста

Вот несколько примеров, которые показывают, как дисперсия и стандартное отклонение широко используются:

1. Оценки учащихся на тестах: Предположим, у нас есть две группы студентов и их тестовые оценки. Оценки группы A: [85, 86, 87, 88, 89], а оценки группы B: [70, 80, 90, 100, 110]. Средняя оценка обеих групп составляет 87, но стандартное отклонение группы A меньше, чем группы B, что указывает на то, что оценки группы A более консистентны.
2. Доходность фондового рынка: Анализируя результаты акций, инвесторы могут использовать стандартное отклонение, чтобы понять волатильность инвестиций. Акции с высоким стандартным отклонением означают больший риск, но и потенциально большую доходность.

Заключение

Понимание дисперсии и стандартного отклонения является ключом к интерпретации статистических данных и принятию обоснованных решений на их основе. Эти меры позволяют статистикам и аналитикам измерять степень рассеяния в наборе данных, что позволяет проводить сравнения в различных контекстах.

Хотя это введение предоставляет поверхностное понимание этих понятий, они играют фундаментальную роль в более сложной статистике и являются важными инструментами в анализе данных в различных областях, включая науку, бизнес и инжиниринг.

комментарии