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मानक विचलन और परिवर्तनीयता
सांख्यिकी के क्षेत्र में, यह समझना कि डेटा कैसे प्रसारित होता है, इसकी केंद्रीय प्रवृत्ति जानने जितना ही महत्वपूर्ण है। दो प्रमुख अवधारणाएँ जो हमें यह समझने में मदद करती हैं कि डेटा कैसे प्रसारित होता है, वे हैं "परिवर्तनीयता" और "मानक विचलन"। ये प्रसार के मूलभूत माप हैं जो हमें बताते हैं कि डेटा सेट में मान औसत या माध्य से कितना भिन्न होते हैं।
प्रसार को समझना
परिवर्तनीयता और मानक विचलन में जाने से पहले, आइए प्रसार के विचार पर एक नज़र डालें। सांख्यिकी में प्रसार उस हद को संदर्भित करता है जिसमें एक वितरण खिंचा या दबा होता है। प्रसार को मापा करने के सामान्य तरीके शामिल हैं:
- वर्ग
- झगड़ा
- मानक विचलन
रेंज सबसे सरल रूप है प्रसार का। इसे डेटा सेट के अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच के अंतर के रूप में गणना किया जाता है। हालाँकि, केवल रेंज ही डेटा के वितरण में पर्याप्त अंतर्दृष्टि प्रदान नहीं करती है क्योंकि यह केवल दो चरम मानों पर विचार करती है। यह वह जगह है जहाँ परिवर्तनीयता और मानक विचलन खेल में आते हैं।
परिवर्तनीयता क्या है?
परिवर्तनीयता हमें यह माप देती है कि एक डेटा सेट में संख्याएँ माध्य से कितनी भिन्न हैं। दूसरे शब्दों में, यह हमें डेटा में प्रसार की डिग्री के बारे में बताती है। जितनी बड़ी परिवर्तनीयता होगी, संख्याएँ उतनी ही अधिक फैली हुई होंगी।
साधारण शब्दों में, परिवर्तनीयता प्रत्येक डेटा बिंदु और डेटा सेट की माध्य के बीच वर्गाकार भिन्नताओं का औसत है। भिन्नताओं को वर्ग करने से सुनिश्चित होता है कि हम शून्य परिवर्तनीयता के साथ समाप्त न हों क्योंकि सकारात्मक और नकारात्मक भिन्नताएँ एक-दूसरे को रद्द कर देंगी।
परिवर्तनीयता का सूत्र
परिवर्तनीयता का सूत्र दिया गया है:
परिवर्तनीयता (σ²) = Σ (xᵢ - μ)² / Nजहाँ:
σ²परिवर्तनीयता है।xᵢडेटा सेट में प्रत्येक मान का प्रतिनिधित्व करता है।μडेटा सेट की माध्य है।Nडेटा बिंदुओं की संख्या है।
परिवर्तनीयता की गणना का उदाहरण
आइए परिवर्तनीयता कैसे गणना की जाती है इसे समझने के लिए एक सरल उदाहरण लेते हैं। मान लीजिए हमारे पास निम्नलिखित डेटा सेट है: 2, 4, 6, 8, 10।
- डेटा सेट की माध्य (औसत) की गणना करें।
माध्य (μ) = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6 - प्रत्येक डेटा बिंदु और माध्य के बीच के अंतर की गणना करें, फिर उन भिन्नताओं को वर्ग करें।
(2 - 6)² = 16 (4 - 6)² = 4 (6 - 6)² = 0 (8 - 6)² = 4 (10 - 6)² = 16 - इन वर्ग भिन्नताओं का औसत खोजें (परिवर्तनीयता)।
परिवर्तनीयता (σ²) = (16 + 4 + 0 + 4 + 16) / 5 = 8
इस प्रकार, इस डेटा सेट की परिवर्तनीयता 8 है।
मानक विचलन क्या है?
मानक विचलन प्रसार का एक और माप है जो परिवर्तनीयता पर आधारित है और हमें एक आँकड़ा देता है जिसे समझना आसान होता है। इसे परिवर्तनीयता का वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है। मानक विचलन हमें बताता है कि डेटा मान माध्य से कितना विचलित होते हैं और यह मान डेटा के जैसे ही इकाइयों में देता है।
सरल शब्दों में, जबकि परिवर्तनीयता हमें प्रसार का एक अच्छा माप देती है, यह वर्गाकार इकाइयों में होती है। मानक विचलन, जो कि परिवर्तनीयता का वर्गमूल है, उन वर्गाकार इकाइयों को डेटा की मूल इकाइयों में बदल देता है, जिससे इसे समझने में आसानी होती है।
मानक विचलन का सूत्र
मानक विचलन का सूत्र दिया गया है:
मानक विचलन (σ) = √परिवर्तनीयता = √(Σ (xᵢ - μ)² / N)मानक विचलन की गणना का उदाहरण
परिवर्तनीयता गणना के हमारे पिछले उदाहरण को जारी रखते हुए, हम डेटा सेट: 2, 4, 6, 8, 10 की मानक विचलन की आसानी से गणना कर सकते हैं।
- हमने पहले ही पाया है कि परिवर्तनीयता 8 है।
- मानक विचलन प्राप्त करने के लिए परिवर्तनीयता का वर्गमूल निकालें।
मानक विचलन (σ) = √8 ≈ 2.83
इस डेटा सेट की मानक विचलन लगभग 2.83 है, जो हमें मूल डेटा इकाइयों में प्रसार का माप देती है।
परिवर्तनीयता और मानक विचलन क्यों महत्वपूर्ण हैं?
परिवर्तनीयता और मानक विचलन का महत्व सामने आता है जब हमें डेटा सेट की परिवर्तनशीलता और स्थिरता को समझना होता है। ये अवधारणाएँ हमें:
- डेटा सेटों की तुलना: वे विभिन्न डेटा सेटों के प्रसार की तुलना करने का एक तरीका प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, दो डेटा सेटों में एक ही माध्य हो सकता है, लेकिन परिवर्तनशीलता के विभिन्न स्तर होते हैं।
- जोखिम का मूल्यांकन: वित्त में, एक बड़ा मानक विचलन एक निवेश के साथ जुड़े उच्च जोखिम को संकेत कर सकता है।
- गुणवत्ता नियंत्रण: निर्माण में, आयामों में कम विचलन वाले उत्पाद बेहतर गुणवत्ता नियंत्रण का संकेत देते हैं।
पाठ उदाहरण
यहाँ कुछ और उदाहरण हैं जो दिखाते हैं कि कैसे परिवर्तनीयता और मानक विचलन का व्यापक उपयोग होता है:
- छात्रों के परीक्षण स्कोर: मान लीजिए हमारे पास दो समूहों के छात्र हैं और उनके परीक्षण स्कोर हैं। समूह A के स्कोर [85, 86, 87, 88, 89] हैं, और समूह B के स्कोर [70, 80, 90, 100, 110] हैं। दोनों समूहों के औसत स्कोर 87 हैं, लेकिन समूह A का मानक विचलन समूह B से कम है, जो इंगित करता है कि समूह A के स्कोर अधिक सुसंगत हैं।
- शेयर बाजार रिटर्न: जब स्टॉक रिटर्न का विश्लेषण करते हैं, तो निवेशक मानक विचलन को देख सकते हैं ताकि निवेश की अस्थिरता को समझ सकें। उच्च मानक विचलन वाले स्टॉक्स का मतलब उच्च जोखिम होते हैं लेकिन संभावित उच्च रिटर्न।
निष्कर्ष
परिवर्तनीयता और मानक विचलन को समझना सांख्यिकी डेटा की व्याख्या करने और उस डेटा के आधार पर सूचित निर्णय लेने की कुंजी है। ये माप सांख्यिकीविदों और विश्लेषकों को डेटा सेट में प्रसार की डिग्री को मापने की अनुमति देते हैं, जिससे विभिन्न संदर्भों में तुलना कराई जा सके।
हालांकि यह परिचय इन अवधारणाओं की सतही समझ प्रदान करता है, वे अधिक उन्नत सांख्यिकी में एक मौलिक भूमिका निभाते हैं और विज्ञान, व्यवसाय, और इंजीनियरिंग सहित विभिन्न क्षेत्रों में डेटा विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण उपकरण होते हैं।
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