Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Desviación estándar y varianza


En el campo de la estadística, entender cómo se dispersan los datos es tan importante como conocer su tendencia central. Dos conceptos clave que nos ayudan a entender cómo se dispersan los datos son la "varianza" y la "desviación estándar". Estas son medidas fundamentales de dispersión que nos indican cuánto varían los valores en un conjunto de datos con respecto a la media o promedio.

Entendiendo la dispersión

Antes de profundizar en la varianza y la desviación estándar, veamos rápidamente la idea de dispersión. La dispersión en estadística se refiere al grado en que una distribución se extiende o se comprime. Formas comunes de medir la dispersión incluyen:

  • Rango
  • Cuartil
  • Desviación estándar

El rango es la forma más simple de dispersión. Se calcula como la diferencia entre los valores máximo y mínimo de un conjunto de datos. Sin embargo, el rango por sí solo no proporciona suficiente información sobre la distribución de los datos porque solo considera los dos valores extremos. Es aquí donde entran en juego la varianza y la desviación estándar.

¿Qué es la varianza?

La varianza nos da una medida de cuánto varían los números en un conjunto de datos con respecto a la media. En otras palabras, nos indica el grado de dispersión en los datos. Cuanto mayor sea la varianza, más dispersos estarán los números.

En términos simples, la varianza es el promedio de las diferencias al cuadrado entre cada punto de datos y la media del conjunto de datos. Elevar las diferencias al cuadrado asegura que no terminemos con una varianza de cero, ya que las diferencias positivas y negativas se cancelarían entre sí.

Fórmula de la varianza

La fórmula de la varianza se da como:

Varianza (σ²) = Σ (xᵢ - μ)² / N

Donde:

  • σ² es la varianza.
  • xᵢ representa cada valor en el conjunto de datos.
  • μ es la media del conjunto de datos.
  • N es el número de puntos de datos.

Ejemplo de cálculo de varianza

Tomemos un ejemplo simple para entender cómo se calcula la varianza. Supongamos que tenemos el siguiente conjunto de datos: 2, 4, 6, 8, 10.

  1. Calcular la media (promedio) del conjunto de datos. 
    Media (μ) = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6
  2. Calcular la diferencia entre cada punto de datos y la media, luego elevar esas diferencias al cuadrado. 
    (2 - 6)² = 16 (4 - 6)² = 4 (6 - 6)² = 0 (8 - 6)² = 4 (10 - 6)² = 16
  3. Encontrar el promedio de estas diferencias al cuadrado (varianza). 
    Varianza (σ²) = (16 + 4 + 0 + 4 + 16) / 5 = 8

Por lo tanto, la varianza de este conjunto de datos es 8.

Media = 6

¿Qué es la desviación estándar?

La desviación estándar es otra medida de dispersión que se basa en la varianza y nos proporciona una estadística que es fácil de interpretar. Se define como la raíz cuadrada de la varianza. La desviación estándar nos indica cuánto se desvían los valores de los datos respecto a la media y proporciona este valor en las mismas unidades que los datos.

En términos simples, mientras que la varianza nos proporciona una buena medida de dispersión, está en unidades al cuadrado. La desviación estándar, al ser la raíz cuadrada de la varianza, convierte esas unidades al cuadrado de nuevo en las unidades originales de los datos, haciéndola más interpretable.

Fórmula de la desviación estándar

La fórmula de la desviación estándar se da como:

Desviación estándar (σ) = √Varianza = √(Σ (xᵢ - μ)² / N)

Ejemplo de cálculo de desviación estándar

Continuando con nuestro ejemplo previo de cálculo de varianza, podemos calcular fácilmente la desviación estándar del conjunto de datos: 2, 4, 6, 8, 10.

  1. Ya hemos encontrado que la varianza es 8.
  2. Calcular la raíz cuadrada de la varianza para obtener la desviación estándar. 
    Desviación estándar (σ) = √8 ≈ 2.83

La desviación estándar de este conjunto de datos es aproximadamente 2.83, lo que nos da una medida de dispersión en las unidades originales de los datos.

Media = 6Desviación estándar ≈ 2.83

¿Por qué son importantes la varianza y la desviación estándar?

La importancia de la varianza y la desviación estándar se destaca cuando necesitamos entender la variabilidad y consistencia de un conjunto de datos. Estos conceptos nos permiten:

  • Comparar conjuntos de datos: Proporcionan una forma de comparar la dispersión de diferentes conjuntos de datos. Por ejemplo, dos conjuntos de datos con la misma media pueden tener diferentes niveles de variabilidad.
  • Evaluar el riesgo: En finanzas, una desviación estándar mayor puede indicar un mayor riesgo asociado con una inversión.
  • Control de calidad: En fabricación, productos con menos variación en dimensiones indican un mejor control de calidad.

Ejemplo de texto

Aquí hay algunos ejemplos más que muestran cómo se utilizan ampliamente la varianza y la desviación estándar:

  1. Puntuaciones de exámenes de estudiantes: Supongamos que tenemos dos grupos de estudiantes y sus puntuaciones de exámenes. Las puntuaciones del grupo A son [85, 86, 87, 88, 89], y las del grupo B son [70, 80, 90, 100, 110]. La puntuación promedio de ambos grupos es 87, pero la desviación estándar del grupo A es menor que la del grupo B, lo que indica que las puntuaciones del grupo A son más consistentes.
  2. Rendimiento del mercado de valores: Al analizar los rendimientos de las acciones, los inversores pueden mirar la desviación estándar para entender la volatilidad de una inversión. Acciones con una alta desviación estándar significan mayor riesgo pero potencialmente mayores retornos.

Conclusión

Entender la varianza y la desviación estándar es clave para interpretar datos estadísticos y tomar decisiones bien informadas basadas en esos datos. Estas medidas permiten a los estadísticos y analistas medir el grado de dispersión en un conjunto de datos, permitiendo comparaciones en diferentes contextos.

Aunque esta introducción brinda una comprensión superficial de estos conceptos, juegan un papel fundamental en estadísticas más avanzadas y son herramientas importantes en el análisis de datos en una variedad de campos, incluyendo la ciencia, los negocios y la ingeniería.


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Desviación estándar y varianza

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