कक्षा 10
  1. संख्या प्रणाली  1.1. वास्तविक संख्या  1.1.1. वास्तविक संख्याओं के गुण  1.1.2. परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ  1.1.3. वास्तविक संख्याओं का दशमलव प्रतिनिधित्व  1.1.4. वास्तविक संख्याओं पर संचालन  1.1.5. संख्या रेखा पर वास्तविक संख्याएँ  1.2. यूक्लिड का विभाजन लेम्मा  1.3. प्रधान गुणनखंड  1.4. संख्या प्रणाली में लघुत्तम समापवर्तक (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) की समझ  1.5. घातांक और मूलांक  1.5.1. घातांक के नियम  1.5.2. मूल अभिव्यक्तियों का सरलीकरण  1.5.3. वैज्ञानिक संकेतन
  2. बीजगणित की समझ  2.1. बहुपद  2.1.1. बहुपद की परिभाषा और प्रकार  2.1.2. बहुपद की डिग्री  2.1.3. बहुपद के शून्य  2.1.4. बहुपदों का गुणांकरण  2.1.5. बीजीय पहचानों  2.2. दो चर में रैखिक समीकरण  2.2.1. रेखीय समीकरणों के ग्राफ  2.2.2. रेखीय समीकरण के समाधान  2.2.3. वर्ण समस्याओं में रैखिक समीकरणों का अनुप्रयोग  2.3. क्वाड्रेटिक समीकरणों की समझ  2.3.1. द्विघात समीकरण का मानक रूप  2.3.2. द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ  2.3.2.1. कारक विधि  2.3.2.2. वर्ग पूर्ण करने की विधि  2.3.2.3. द्विघात समीकरण  2.3.3. द्विघात समीकरणों में मूलों की प्रकृति को समझना  2.4. अनुक्रमिक प्रगति को समझना  2.4.1. अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा  2.4.2. अंकगणित प्रगति (एपी) का सामान्य पद  2.4.3. पहली n पदों के योग का अंकगणितीय प्रगति  2.5. फंक्शंस का परिचय  2.5.1. फंक्शन का परिभाषा और प्रकार  2.5.2. डोमेन और रेंज  2.5.3. कार्य की संरचना  2.5.4. एक फलन का प्रतिलोम
  3. निर्देशांक ज्यामिति  3.1. निर्देशांक ज्यामिति में कार्टेशियन प्रणाली का परिचय  3.2. दूरी सूत्र  3.3. सेक्शन सूत्र  3.4. त्रिभुज का क्षेत्रफल  3.5. रेखा का ढलान  3.6. निर्देशांक ज्यामिति में रेखा का समीकरण  3.6.1. ढलान-अवरोध रूप  3.6.2. पॉइंट-स्लोप रूप का परिचय  3.6.3. दो-बिंदु रूप  3.6.4. उत्तरवर्ती रूप  3.6.5. रेखा का सामान्य रूप
  4. त्रिकोणमिति  4.1. त्रिकोणमितीय अनुपात  4.1.1. साइन, कोसाइन, टैंगेंट और उनके व्युत्क्रम  4.1.2. विशिष्ट कोणों पर त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानों को समझना  4.2. त्रिकोणमितीय पहचान  4.3. पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात  4.4. ऊंचाइयां और दूरियां  4.4.1. ऊँचाई और अवसाद के कोणों को समझना  4.4.2. वास्तविक जीवन की समस्याओं में अनुप्रयोग
  5. ज्यामिति  5.1. त्रिभुज  5.1.1. त्रिभुजों की सर्वांगसमता  5.1.2. अनुरूपता के मानदंड  5.1.3. त्रिभुजों के गुणधर्म  5.2. ज्यामिति में समानता को समझना  5.2.1. ज्यामिति में समान आकार को समझना  5.2.2. समानता के मापदंड  5.2.3. त्रिभुजों की समानता  5.2.4. वास्तविक जीवन में समानता का अनुप्रयोग  5.3. ज्यामिति में वृत्त की समझ  5.3.1. वृत्त के गुण  5.3.2. वृत्त की स्पर्शरेखा  5.3.3. किसी बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की संख्या  5.3.4. कोण द्वारा केंद्रित चाप  5.4. ज्यामिति में निर्माण  5.4.1. समान त्रिभुजों का निर्माण  5.4.2. वृत्त की स्पर्श रेखा  5.4.3. कोण द्विभाजक का निर्माण
  6. मापिकी  6.1. समतल आकारों का क्षेत्रफल  6.1.1. त्रिभुज का क्षेत्रफल  6.1.2. एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल को समझना  6.1.3. ट्रैपेज़ियम का क्षेत्रफल  6.1.4. रोमबस के क्षेत्रफल को समझना  6.2. सतह क्षेत्रफल और आयतन  6.2.1. घन, घनाभ और बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल  6.2.2. शंकु और गोला का पृष्ठीय क्षेत्रफल  6.2.3. घन, घनाभ और बेलन का आयतन  6.2.4. शंकु और गोले का आयतन  6.3. इकाइयों का रूपांतरण  6.4. शंकु का कर्तन
  7. आकड़े  7.1. सांख्यिकी का परिचय  7.2. डेटा का संग्रहण  7.3. डाटा प्रस्तुति  7.3.1. सारणीबद्ध रूप  7.3.2. ग्राफिकल रूप  7.3.2.1. बार ग्राफ  7.3.2.2. हिस्टोग्राम: सांख्यिकी में ग्राफिकल प्रतिनिधित्व के लिए एक उपकरण  7.3.2.3. फ्रीक्वेंसी बहुभुज  7.3.2.4. ओगिव  7.4. केंद्रीय प्रवृत्तियों के माप  7.4.1. औसत, माध्यिका और बहुलक  7.4.2. क्वारटाइल्स और परसेंटाइल्स को समझना  7.5. प्रसार के माप  7.5.1. रेंज और इंटरक्वार्टाइल रेंज  7.5.2. मानक विचलन और परिवर्तनीयता
  8. संभावना  8.1. संभाव्यता का परिचय  8.2. अनुभवजन्य प्रायिकता  8.3. सैद्धांतिक संभावना  8.4. सरल घटनाओं की प्रायिकता  8.5. पूरक कार्यक्रम  8.6. संयुक्त घटनाओं की संभावना

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हिस्टोग्राम: सांख्यिकी में ग्राफिकल प्रतिनिधित्व के लिए एक उपकरण


सांख्यिकी की दुनिया में, डेटा की समझ बहुत महत्वपूर्ण है। हमें अक्सर जटिल डेटा सेट को दृश्य रूप से प्रदर्शित करने का एक तरीका चाहिए ताकि रुझान और पैटर्न को जल्द से जल्द समझा जा सके। इसे प्राप्त करने का एक प्रभावी तरीका हिस्टोग्राम का उपयोग करना है। एक हिस्टोग्राम एक ग्राफिकल प्रतिनिधित्व है जो डेटा बिंदुओं के एक समूह को उपयोगकर्ता द्वारा निर्दिष्ट श्रेणियों में संगठित करता है।

हिस्टोग्राम में गहराई से जाने से पहले, कुछ मुख्य अवधारणाओं जैसे डेटा वितरण और आवृत्ति को समझना महत्वपूर्ण है। डेटा वितरण का अर्थ है कि डेटा सेट में मान कैसे फैलते हैं। दूसरी ओर, आवृत्ति का अर्थ है कि एक डेटा मान कितनी बार होता है।

हिस्टोग्राम क्या है?

एक हिस्टोग्राम एक प्रकार का बार चार्ट है जो संख्यात्मक डेटा की आवृत्ति वितरण को दिखाता है। बार चार्ट जो श्रेणीबद्ध डेटा प्रदर्शित करते हैं, उनके विपरीत, हिस्टोग्राम का उपयोग सतत डेटा या क्रमबद्ध अनुक्रम में आने वाले डेटा को प्रस्तुत करने के लिए किया जाता है। एक हिस्टोग्राम में प्रत्येक बार, जिसे बिन के रूप में भी जाना जाता है, निश्चित अंतराल के भीतर डेटा की आवृत्ति को दिखाता है।

इस सरल डेटा सेट पर विचार करें: 
4, 5, 5, 6, 9, 9, 10, 10, 10, 11

श्रेणियाँ: 
3-5, 6-8, 9-11

आवृत्ति:
3-5 => 3 डेटा बिंदु (4, 5, 5)
6-8 => 1 डेटा बिंदु (6)
9-11 => 6 डेटा बिंदु (9, 9, 10, 10, 10, 11)

हिस्टोग्राम की संरचना

एक हिस्टोग्राम सन्निहित (आसन्न) आयतों से बना होता है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि एक हिस्टोग्राम में, बार एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं, यह संकेत देते हैं कि मूल चर सतत है। एक हिस्टोग्राम के मुख्य तत्व हैं:

  • अक्ष: x-अक्ष आमतौर पर अंतराल या बिन का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि y-अक्ष प्रत्येक बिन के भीतर डेटा बिंदुओं की आवृत्ति दिखाता है।
  • बार्स: प्रत्येक बार एक बिन का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें डेटा की एक निश्चित श्रेणी होती है। बार की ऊँचाई उस श्रेणी में डेटा बिंदुओं या आवृत्ति की संख्या का प्रतिनिधित्व करती है।
आवृत्ति
3
1
6
3-5
6-8
9-11
डेटा बिन्स

हिस्टोग्राम बनाना

हिस्टोग्राम बनाने के लिए आपको कई चरणों का पालन करना होगा:

  1. डेटा इकट्ठा करें: सबसे पहले, उस संख्यात्मक डेटा को इकट्ठा करें जिसे आप हिस्टोग्राम में प्रदर्शित करेंगे।
  2. बिन की संख्या तय करें: इस बारे में निर्णय लें कि कितने बिन का उपयोग करना है। इसका निर्धारण करने के लिए सामान्य विधियों में वर्गमूल विधि शामिल है, जहां बिन की संख्या लगभग डेटा की संख्या के वर्गमूल के बराबर होती है।
  3. बिन की चौड़ाई निर्धारित करें: यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि आपके बिन्स के अंतराल अतिक्रमण न करें। यदि आपके पास n डेटा बिंदु और k बिन हैं, तो बिन की चौड़ाई का सामान्य सूत्र है: 
     चौड़ाई = (अधिकतम(data) - न्यूनतम(data)) / k
  4. प्रत्येक बिन में डेटा बिंदुओं की गिनती करें: उन डेटा बिंदुओं की गणना करें जो प्रत्येक बिन में आते हैं।
  5. हिस्टोग्राम बनाएं: अक्षों के लिए एक उपयुक्त पैमाना चुनें और बार्स को उसी अनुसार खींचें।
उदाहरण डेटा सेट:
7, 8, 8, 8, 9, 10, 11, 11, 11, 12, 13, 14, 14, 15, 15

चरण:
1. खंडों की संख्या: 4
2. चौड़ाई: (अधिकतम - न्यूनतम) / बिन = (15 - 7) / 4 = 2
3. खाली डिब्बे: 7-8.5, 8.5-10, 10-11.5, 11.5-13

आवृत्ति:
7-8.5 => 4 डेटा बिंदु (7, 8, 8, 8)
8.5-10 => 2 डेटा बिंदु (9, 10)
10-11.5 => 5 डेटा बिंदु (11, 11, 11)
11.5-13 => 2 डेटा बिंदु (12, 13)
आवृत्ति
4
2
5
2
7-8.5
8.5-10
10-11.5
11.5-13
डेटा बिन्स

हिस्टोग्राम का व्याख्या करना

हिस्टोग्राम डेटा वितरण का एक स्नैपशॉट प्रदान करता है। हिस्टोग्राम का आकार हमें अंतर्निहित डेटा वितरण के बारे में बहुत कुछ बता सकता है। कुछ सामान्य पैटर्न जो देखे जा सकते हैं, वे हैं:

  • समान वितरण: हिस्टोग्राम लगभग केंद्र के इर्द-गिर्द समान है। एक क्लासिक बेल के आकार का वक्र जिसे सामान्य वितरण के रूप में जाना जाता है।
  • तिरछा वितरण: हिस्टोग्राम एक तरफ झुका होता है। यदि यह बाईं ओर झुका है, तो यह सकारात्मक रूप से तिरछा है; यदि यह दाईं ओर झुका है, तो यह नकारात्मक रूप से तिरछा है।
  • समान वितरण: सभी बार लगभग एक ही ऊँचाई के होते हैं; डेटा में कोई स्पष्ट मोड नहीं है।
  • बहु-मोडल वितरण: एक हिस्टोग्राम में एक से अधिक चोटी, जो डेटा के कई प्रमुख समूहों का संकेत देती है।

हिस्टोग्राम के फायदे और नुकसान

लाभ

  • डेटा वितरण का स्पष्ट दृश्य प्रतिनिधित्व देता है।
  • यह हमें डेटा के आकार को पहचानने में मदद करता है कि यह सामान्य है, तिरछा है या एकरूप है।
  • बड़े डेटा सेट के लिए बहुत उपयोगी।

हानि

  • छोटे डेटा सेट के लिए उपयुक्त नहीं है क्योंकि यह वितरण को सही ढंग से नहीं दर्शा सकता।
  • बिन की संख्या का चुनाव डेटा को व्याख्या करने को प्रभावित कर सकता है।

निष्कर्ष

सारांश में, हिस्टोग्राम सांख्यिकी में सतत डेटा का दृश्य रूप से प्रतिनिधित्व करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण हैं। वे वितरण में अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं और बड़े डेटा सेट को कुशलतापूर्वक सारांशित कर सकते हैं। हिस्टोग्राम को पढ़ने और व्याख्या करने की समझ, विस्तृत डेटा विश्लेषण करने और सांख्यिकीय डेटा के आधार पर सूचित निर्णय लेने में मदद कर सकती है।


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हिस्टोग्राम: सांख्यिकी में ग्राफिकल प्रतिनिधित्व के लिए एक उपकरण

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