Введение в статистику

Статистика — это область знаний, связанная со сбором, анализом, интерпретацией, представлением и организацией данных. В повседневной жизни вы сталкиваетесь со статистикой в областях, таких как спорт, прогнозы погоды и покупательские тренды. Статистика помогает нам понимать данные, с которыми мы сталкиваемся, и принимать обоснованные решения. Это введение познакомит вас с основами статистики, важными для понимания в дальнейшем изучении математики в 10 классе.

Что такое данные?

Данные относятся к фактам или цифрам, из которых можно сделать выводы. Данные могут быть представлены в различных формах, таких как числа, слова, измерения, наблюдения и т. д. В статистике мы работаем с числовыми данными для анализа и вывода заключений.

Типы данных

Существует два основных типа данных: качественные и количественные данные.

Качественные данные

Качественные данные описывают характеристики или качества. Эти данные не являются числовыми. Например:

• Цвета автомобилей на парковке.
• Виды животных в зоопарке.
• Имена студентов в классе.

Количественные данные

Количественные данные представляют собой количества или величины и являются числовыми. Например:

• Рост учеников в классе в сантиметрах.
• Количество книг в библиотеке.
• Оценки учеников на экзамене.

Пример: Представление данных

Визуальные представления часто делают данные более понятными. Ниже приведены примеры использования столбчатых диаграмм для отображения количественных данных и круговых диаграмм для отображения качественных данных.

Столбчатая диаграмма

Столбчатые диаграммы используются для представления категориальных данных. Каждая категория представлена прямоугольным столбцом.

На диаграмме выше показаны данные трех категорий (A, B, C) с соответствующими значениями: A = 50, B = 100, C = 150.

Круговая диаграмма

Круговые диаграммы используются для отображения относительного размера частей целого. Каждая часть показана в виде сектора круга.

На этой круговой диаграмме каждый сектор представляет собой разную категорию. Цветовые сектора помогают увидеть, как каждая категория отличается от общей.

Понятие популяции и выборки

При проведении исследований или опросов часто невозможно собрать данные от каждого человека в группе. Вся группа называется популяцией. Меньшая группа, выбранная из популяции, называется выборкой.

Например, если учитель хочет узнать средний рост учащихся в школе, было бы непрактично измерять рост каждого ученика. Вместо этого учитель может измерить рост учащихся из некоторых случайных классов (выборки), чтобы оценить средний рост всех учащихся (популяции).

Пример: Использование выборки для оценки среднего по популяции

Рассмотрим школу с 500 учениками (популяция). Учитель хочет узнать средний балл по математическому тесту. Вместо того чтобы подсчитывать результаты всех 500 учеников, она выбирает выборку из 50 учеников. Средний балл выборки может помочь оценить средний балл по популяции.

Центральная тенденция

Центральная тенденция относится к статистике, описывающей центральное или среднее значение набора данных. Три наиболее часто используемые меры центральной тенденции: среднее, медиана и мода.

Среднее

Среднее – это то, что большинство людей называют средним значением. Чтобы его вычислить, нужно сложить все числа в наборе данных, а затем разделить на общее количество чисел.

Среднее = (сумма всех данных) / (число данных)

Например, чтобы найти среднее чисел 5, 10, 15:

Сумма данных = 5 + 10 + 15 = 30 Число данных = 3 Среднее = 30 / 3 = 10

Медиана

Когда числа расположены в порядке возрастания, медиана — это среднее число в наборе данных. Если количество данных четное, медиана — это среднее из двух средних чисел.

Например, для чисел 3, 8, 9:

Упорядоченный набор данных: 3, 8, 9 Медиана = 8 (среднее число)

А для чисел 3, 5, 8, 9:

Упорядоченный набор данных: 3, 5, 8, 9 Медиана = (5 + 8) / 2 = 6.5

Мода

Мода — это число, которое встречается чаще всего в наборе данных. В наборе данных может быть одна мода, более одной моды или её может не быть вовсе.

Например, в наборе чисел 3, 3, 6, 9, 9 моды — 3 и 9.

Визуальный пример: Центральная тенденция

Мы можем использовать линейные графики для демонстрации меры центральной тенденции для простых наборов данных.

На этом графике числа представляют точки данных, и мы можем вычислить среднее, медиану и моду на основе этих представленных значений.

Введение в вероятность

Вероятность — это мера вероятности наступления события. В статистике вероятность помогает нам оценивать вероятность наступления события на основе данных. При подбрасывании честной монеты вероятность выпадения "орла" составляет 0.5 (или 50%).

Вычисление вероятности

Вероятность можно вычислить с использованием формулы:

Вероятность события = (Количество благоприятных исходов) / (Общее количество возможных исходов)

Рассмотрим бросок игрального кубика. Вероятность выпадения 3 составляет:

Количество благоприятных исходов (выпадение 3) = 1 Общее количество возможных исходов = 6 Вероятность = 1 / 6 ≈ 0.1667

Пример: Вероятность в действии

Если в сумке 3 красных шара и 5 синих шаров, и мы случайно выбираем один шар, какова вероятность выбрать красный шар?

Количество благоприятных исходов (красные шары) = 3 Общее количество возможных исходов (все шары) = 8 Вероятность красного = 3 / 8 = 0.375

Описательная статистика

Описательная статистика включает в себя резюмирование и организацию данных, чтобы они были легко понятны. Меры центральной тенденции (среднее, медиана, мода) являются частью описательной статистики. Еще одной важной мерой является изменчивость, показывающая, насколько разбросаны данные.

Размах

Размах показывает разброс данных, вычитая наименьшее значение из наибольшего значения в наборе данных.

Размах = Наибольшее значение - Наименьшее значение

Например, в наборе данных 3, 7, 8, 42, 45:

Размах = 45 - 3 = 42

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение измеряет, насколько далеко числа от среднего. Формула включает в себя квадратный корень из дисперсии, которая является средним квадратичных отклонений от среднего.

Стандартное отклонение = sqrt[(Σ(x - среднее)²) / N]

где Σ обозначает сумму, x — это точки данных, и N — количество точек данных.

Пример: Вычисление стандартного отклонения

Рассмотрим точки данных: 4, 8, 6, 5, 3

Шаг 1: Рассчитать среднее. Среднее = (4 + 8 + 6 + 5 + 3) / 5 = 26 / 5 = 5.2
Шаг 2: Найти отклонения от среднего и возвести их в квадрат.
(4 - 5.2)² = 1.44
(8 - 5.2)² = 7.84
(6 - 5.2)² = 0.64
(5 - 5.2)² = 0.04
(3 - 5.2)² = 4.84
Шаг 3: Рассчитать дисперсию.
Дисперсия = Σ(квадратичные отклонения) / N = (1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84) / 5 = 2.64
Шаг 4: Рассчитать стандартное отклонение.
Стандартное отклонение = sqrt(дисперсия) = sqrt(2.64) ≈ 1.62

Заключение

Статистика — это важный инструмент, помогающий нам понимать данные через различные концепции, такие как типы данных, вероятность и описательная статистика. Знание того, как вычислять и интерпретировать среднее, медиану, моду и стандартное отклонение, помогает понимать центральные тенденции и изменчивость внутри набора данных. Это введение в статистику закладывает основу для более глубокого изучения анализа данных и прогнозирования, которые являются важными навыками в различных областях, от науки до экономики.

комментарии