सांख्यिकी का परिचय
सांख्यिकी अध्ययन का एक क्षेत्र है जो आंकड़ों के संग्रह, विश्लेषण, व्याख्या, प्रस्तुति और संगठन से संबंधित है। दैनिक जीवन में, आप खेल, मौसम पूर्वानुमान और खरीदारी की प्रवृत्तियों जैसे क्षेत्रों में सांख्यिकी का सामना करते हैं। सांख्यिकी हमें हमारे द्वारा प्राप्त आंकड़ों को समझने और सूचित निर्णय लेने में मदद करती है। यह परिचय आपको 10वीं कक्षा के गणित में अपनी पढ़ाई जारी रखने के लिए समझने के लिए महत्वपूर्ण सांख्यिकी की मूल बातें बताएगा।
आंकड़े क्या हैं?
आंकड़े उन तथ्यों या आंकड़ों को संदर्भित करता है जिनसे निष्कर्ष निकाला जा सकता है। आंकड़े विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किए जा सकते हैं जैसे संख्याएं, शब्द, माप, अवलोकन, आदि। सांख्यिकी में, हम निष्कर्ष निकालने और विश्लेषण करने के लिए संख्यात्मक आंकड़ों के साथ काम करते हैं।
आंकड़ों के प्रकार
मुख्य रूप से दो प्रकार के आंकड़े होते हैं: गुणात्मक और मात्रात्मक आंकड़े।
गुणात्मक आंकड़े
गुणात्मक आंकड़े विशेषताओं या गुणों का वर्णन करते हैं। यह आंकड़े संख्यात्मक नहीं होते। उदाहरण के लिए:
- पार्किंग क्षेत्र में कारों के रंग।
- चिड़ियाघर में जानवरों की प्रकार।
- क्लास में छात्रों के नाम।
मात्रात्मक आंकड़े
मात्रात्मक आंकड़े मात्रा या मापदंडों का प्रतिनिधित्व करते हैं और संख्यात्मक होते हैं। उदाहरण के लिए:
- क्लास में छात्रों की ऊँचाई सेंटीमीटर में।
- एक पुस्तकालय में पुस्तकों की संख्या।
- परीक्षा में छात्रों के अंक।
उदाहरण: आंकड़ों का प्रदर्शन
दृश्य प्रस्तुतियाँ अक्सर आंकड़ों को समझना आसान बनाती हैं। नीचे मात्रात्मक आंकड़े दिखाने के लिए बार ग्राफ़ का उपयोग करने और गुणात्मक आंकड़े दिखाने के लिए पाई चार्ट के उपयोग के उदाहरण दिए गए हैं।
बार ग्राफ़
बार ग्राफ़ श्रेणीबद्ध आंकड़े को प्रदर्शित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। प्रत्येक श्रेणी को आयताकार पट्टी के द्वारा दर्शाया जाता है।
ऊपर दिया गया बार ग्राफ़ तीन श्रेणियों (A, B, C) के आंकड़ों को दर्शाता है जिनके सम्बंधित मूल्य हैं: A = 50, B = 100, C = 150।
पाई चार्ट
पाई चार्ट का उपयोग पूरे के भागों का सापेक्ष आकार दिखाने के लिए किया जाता है। प्रत्येक भाग को पाई के एक टुकड़े के रूप में दिखाया जाता है।
इस पाई चार्ट में, प्रत्येक टुकड़ा एक अलग श्रेणी का प्रतिनिधित्व करता है। रंग-कोडित टुकड़े आपको दिखाते हैं कि प्रत्येक श्रेणी का कुल श्रेणी से कैसे भिन्नता है।
जनसंख्या और नमूना की अवधारणा
जब अनुसंधान या सर्वेक्षणों का संचालन किया जाता है, तो समूह के प्रत्येक व्यक्ति से आंकड़े एकत्र करना अक्सर असंभव होता है। पूरे समूह को जनसंख्या के रूप में जाना जाता है। एक छोटे समूह का चयन की गई जनसंख्या में से होता है जिसे नमूना कहा जाता है।
उदाहरण के लिए, अगर एक शिक्षक को स्कूल के छात्रों की औसत ऊँचाई जानने की आवश्यकता है, तो हर छात्र की ऊँचाई मापना अव्यवहारिक होगा। इसके बजाय, शिक्षक कुछ यादृच्छिक कक्षाओं के छात्रों की ऊँचाई माप सकते हैं (एक नमूना) ताकि सभी छात्रों की औसत ऊँचाई का अनुमान लगाया जा सके (जनसंख्या)।
उदाहरण: जनसंख्या का मीन अनुमानित करने के लिए नमूना का उपयोग
मान लीजिए एक स्कूल में 500 छात्र हैं (जनसंख्या)। एक शिक्षक एक गणित परीक्षा में औसत स्कोर जानना चाहता है। सभी 500 छात्रों का स्कोर की गणना करने की बजाए, वह 50 छात्रों का एक नमूना चुनता है। नमूना का औसत स्कोर जनसंख्या के औसत का अनुमान लगाने में मदद कर सकता है।
केंद्रीय प्रवृत्ति
केंद्रीय प्रवृत्ति उन सांख्यिकी को संदर्भित करती है जो डेटा सेट के केंद्र या औसत मूल्य का वर्णन करती हैं। तीन माप जो आमतौर पर केंद्रीय प्रवृत्ति के लिए इस्तेमाल किए जाते हैं, वे हैं: मीन, मध्यक, और बहुलक।
मीनिंग
मीन वह है जिसे अधिकांश लोग औसत कहते हैं। इसे गणना करने के लिए, डेटा सेट में सभी संख्याओं को जोड़ें और फिर कुल संख्याओं की संख्या से भाग करें।
मीन = (सभी डेटा पॉइंट्स का योग) / (डेटा पॉइंट्स की संख्या)उदाहरण के लिए, 5, 10, 15 संख्याओं का मीन खोजने के लिए:
डेटा पॉइंट्स का योग = 5 + 10 + 15 = 30 डेटा पॉइंट्स की संख्या = 3 मीन = 30 / 3 = 10मध्यक
जब संख्याएँ आरोही क्रम में व्यवस्थित होती हैं, तो मध्यक डेटा सेट में मध्यम संख्या होती है। अगर डेटा पॉइंट्स की संख्या सम होती है, तो मध्यक दो मध्य संख्याओं का मीन होता है।
उदाहरण के लिए, 3, 8, 9 संख्याओं के लिए:
व्यवस्थित डेटा सेट: 3, 8, 9 मध्यक = 8 (मध्य संख्या)और 3, 5, 8, 9 के लिए:
व्यवस्थित डेटा सेट: 3, 5, 8, 9 मध्यक = (5 + 8) / 2 = 6.5बहुलक
बहुलक वह संख्या है जो एक डेटा सेट में सबसे अधिक बार प्रकट होती है। डेटा सेट में एक बहुलक, एक से अधिक बहुलक, या कोई बहुलक नहीं हो सकता है।
उदाहरण के लिए, 3, 3, 6, 9, 9 संख्याओं के सेट का बहुलक 3 और 9 है।
दृश्य उदाहरण: केंद्रीय प्रवृत्ति
हम सरल डेटा सेट के लिए केंद्रीय प्रवृत्ति के माप को दिखाने के लिए लाइ พลॉट्स का उपयोग कर सकते हैं।
इस ग्राफ़ में, संख्याएँ डेटा पॉइंट्स का प्रतिनिधित्व करती हैं, और हम इन प्रदत्त मानों के आधार पर मीन, मध्यक और बहुलक की गणना कर सकते हैं।
प्रायिकता की परिचय
प्रायिकता एक घटना के घटित होने की संभावना का माप है। सांख्यिकी में, प्रायिकता हमें आंकड़ों के आधार पर किसी घटना के घटित होने की संभावना का अनुमान लगाने में मदद करती है। जब एक निष्पक्ष सिक्का फेंका जाता है, तो सिर के प्रकट होने की प्रायिकता 0.5 (या 50%) होती है।
प्रायिकता की गणना
प्रायिकता को निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गणना किया जा सकता है:
किसी घटना की प्रायिकता = (अनुकूल परिणामों की संख्या) / (संभावित परिणामों की कुल संख्या)छः-पक्षीय पासा फेंकने पर 3 प्राप्त करने की प्रायिकता है:
अनुकूल परिणामों की संख्या (3 निकालना) = 1 संभावित परिणामों की कुल संख्या = 6 प्रायिकता = 1 / 6 ≈ 0.1667उदाहरण: प्रायिकता की क्रियाविधि में
यदि एक बैग में 3 लाल गेंदें और 5 नीली गेंदें हैं, और एक गेंद को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो लाल गेंद चुनने की प्रायिकता क्या है?
अनुकूल परिणामों की संख्या (लाल गेंदें) = 3 संभावित परिणामों की कुल संख्या (कुल गेंदें) = 8 लाल की प्रायिकता = 3 / 8 = 0.375वर्णनात्मक सांख्यिकी
वर्णनात्मक सांख्यिकी डेटा को संक्षेपित करने और संगठित करने का काम करती है ताकि उसे आसानी से समझा जा सके। केंद्रीय प्रवृत्ति के माप (मीन, मध्यक, बहुलक) वर्णनात्मक सांख्यिकी का हिस्सा हैं। एक अन्य महत्वपूर्ण माप विकरणशीलता है, जो डेटा मानों के फैलाव को दिखाता है।
रेंज
रेंज डेटा का फैलाव मापता है और सबसे छोटे मान को सबसे बड़े मान से घटाकर प्राप्त किया जाता है।
रेंज = सबसे बड़ा मान - सबसे छोटा मानउदाहरण के लिए, 3, 7, 8, 42, 45 डेटा सेट में:
रेंज = 45 - 3 = 42मानक विचलन
मानक विचलन दर्शाता है कि संख्या का माध्य से कितना भिन्नता होती है। सूत्र में विचलन का वर्गमूल शामिल होता है, जो कि माध्य से वर्गमूल भिन्नताओं का औसत होता है।
मानक विचलन = sqrt[(Σ(x - mean)²) / N]जहाँ Σ योग होता है, x डेटा पॉइंट्स हैं, और N डेटा पॉइंट्स की संख्या है।
उदाहरण: मानक विचलन की गणना
मान लें कि डेटा पॉइंट्स: 4, 8, 6, 5, 3
चरण 1: मीन की गणना करें। मीन = (4 + 8 + 6 + 5 + 3) / 5 = 26 / 5 = 5.2
चरण 2: माध्य से भिन्नताओं प्राप्त करें और उन्हें वर्गित करें।
(4 - 5.2)² = 1.44
(8 - 5.2)² = 7.84
(6 - 5.2)² = 0.64
(5 - 5.2)² = 0.04
(3 - 5.2)² = 4.84
चरण 3: विचलन की गणना करें।
विचलन = Σ(वर्गित भिन्नताएं) / N = (1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84) / 5 = 2.64
चरण 4: मानक विचलन की गणना करें।
मानक विचलन = sqrt(विचलन) = sqrt(2.64) ≈ 1.62निष्कर्ष
सांख्यिकी एक आवश्यक उपकरण है जो आंकड़ों को समझने में मदद करता है विभिन्न अवधारणाओं के माध्यम से जैसे डेटा प्रकार, प्रायिकता, और वर्णनात्मक सांख्यिकी। मीन, मध्यक, बहुलक, और मानक विचलन की गणना और व्याख्या करने की क्षमता डेटा सेट के केंद्रीय प्रवृत्तियों और विकरणशीलता को समझने में मदद करती है। सांख्यिकी का यह परिचय डेटा का विश्लेषण करने और भविष्यवाणी करने में गहरी खोज के लिए आधारशिला तैयार करता है, जो कि विज्ञान से लेकर अर्थशास्त्र जैसे विभिन्न क्षेत्रों में महत्वपूर्ण कौशल हैं।
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