सतह क्षेत्रफल और आयतन
गणित में, मापन ज्यामितीय आकृतियों, उनके आयामों और संबंधित मापदंडों जैसे कि क्षेत्रफल, परिमाप, सतह क्षेत्रफल और आयतन के अध्ययन से संबंधित होता है। इस पाठ में, हम दो मुख्य अवधारणाओं को समझेंगे: सतह क्षेत्रफल और आयतन। हम इन अवधारणाओं को सरल भाषा और व्यावहारिक उदाहरणों के साथ समझाएंगे।
सतह क्षेत्रफल को समझना
किसी त्रि-आयामी वस्तु का सतह क्षेत्रफल उस वस्तु की सतहों द्वारा आच्छादित कुल क्षेत्र होता है। कल्पना करें कि आप एक उपहार बॉक्स को कागज से लपेट रहे हैं; उपयोग किए गए कुल कागज से बॉक्स का सतह क्षेत्रफल प्रदर्शित होता है।
घन का सतह क्षेत्रफल
घन के छह समान वर्गाकार मुख होते हैं। सतह क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए, हम एक मुख के क्षेत्र को पाते हैं और फिर इसे छह से गुणा करते हैं (क्योंकि इसके छह मुख होते हैं)।
सूत्र:
घन का सतह क्षेत्रफल = 6 * पक्ष 2उदाहरण: यदि किसी घन का प्रत्येक पक्ष 4 सेमी है, तो इसका सतह क्षेत्रफल ज्ञात करें।
सतह क्षेत्रफल = 6 * (4 सेमी) 2 = 6 * 16 सेमी 2 = 96 सेमी 2आयताकार प्रिज्म (घनाभ) का सतह क्षेत्रफल
आयताकार प्रिज्म या घनाभ के छह आयताकार मुख होते हैं। सतह क्षेत्रफल की गणना सभी आयतों के क्षेत्र को खोजकर और उन्हें जोड़कर की जाती है।
सूत्र:
सतह क्षेत्रफल = 2(lw + lh + wh)जहाँ l लंबाई है, w चौड़ाई है, और h ऊँचाई है।
उदाहरण: यदि बॉक्स की लंबाई = 5 सेमी, चौड़ाई = 3 सेमी, और ऊँचाई = 4 सेमी है, तो उसका सतह क्षेत्रफल ज्ञात करें।
सतह क्षेत्रफल = 2(5 सेमी * 3 सेमी + 5 सेमी * 4 सेमी + 3 सेमी * 4 सेमी) = 2(15 सेमी 2 + 20 सेमी 2 + 12 सेमी 2) = 2 * 47 सेमी 2 = 94 सेमी 2गोलक का सतह क्षेत्रफल
गोलक पूरी तरह से गोल होता है। इसका सतह क्षेत्रफल खोजना बहुत आसान है।
सूत्र:
सतह क्षेत्रफल = 4πr 2जहाँ r गोलक की त्रिज्या है।
उदाहरण: यदि किसी गोलक की त्रिज्या 7 सेमी है, तो उसका सतह क्षेत्रफल ज्ञात करें।
सतह क्षेत्रफल = 4π * (7 सेमी) 2 = 4π * 49 सेमी 2 = 196π सेमी 2सिलेंडर का सतह क्षेत्रफल
सिलेंडर में दो गोलाकार आधार होते हैं और एक घुमावदार सतह होती है। इसका सतह क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए, दो गोलाकार आधारों और घुमावदार सतह के क्षेत्रों को जोड़ लें।
सूत्र:
सतह क्षेत्रफल = 2πr(h + r)जहाँ r त्रिज्या है, और h ऊँचाई है।
उदाहरण: 10 सेमी ऊँचाई और 3 सेमी त्रिज्या वाले सिलेंडर का सतह क्षेत्रफल ज्ञात करें।
सतह क्षेत्रफल = 2π * 3 सेमी * (10 सेमी + 3 सेमी) = 2π * 3 सेमी * 13 सेमी = 78π सेमी 2आयतन को समझना
आयतन का अर्थ होता है वह स्थान जो किसी त्रि-आयामी वस्तु द्वारा घेरा जाता है। सोचिए कि आप एक स्विमिंग पूल को पानी से भर रहे हैं; आयतन वह मात्रा है जो पूल में पानी भर सकता है।
घन का आयतन
घन का आयतन पाने के लिए, उसके पक्ष की लंबाई को उसके पक्ष के घनफल से गुणा करें। यह हमें बताता है कि घन के भीतर कितना स्थान है।
सूत्र:
घन का आयतन = पक्ष 3उदाहरण: यदि घन के प्रत्येक पक्ष की लंबाई 3 सेमी है, तो इसका आयतन ज्ञात करें।
आयतन = (3 सेमी) 3 = 27 सेमी 3आयताकार प्रिज्म (घनाभ) का आयतन
आयताकार प्रिज्म का आयतन उसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई को गुणा करके प्राप्त होता है।
सूत्र:
आयतन = लं * चो * ऊंउदाहरण: एक आयताकार बॉक्स का आयतन ज्ञात करें जिसकी लंबाई = 8 सेमी, चौड़ाई = 5 सेमी, और ऊँचाई = 2 सेमी है।
आयतन = 8 सेमी * 5 सेमी * 2 सेमी = 80 सेमी 3गोलक का आयतन
गोलक के आयतन की गणना इसके त्रिज्या के माध्यम से की जा सकती है, जिसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्रदान किया जाता है।
सूत्र:
आयतन = (4/3)πr 3उदाहरण: यदि किसी गोलक की त्रिज्या 6 सेमी है, तो उसका आयतन ज्ञात करें।
आयतन = (4/3)π * (6 सेमी) 3 = (4/3)π * 216 सेमी 3 = 288π सेमी 3सिलेंडर का आयतन
सिलेंडर दो गोलाकार आधार और एक ऊँचाई से बना होता है। इसका आयतन उसकी त्रिज्या और ऊँचाई का उपयोग कर पाया जा सकता है।
सूत्र:
आयतन = πr 2 hउदाहरण: 3 सेमी त्रिज्या और 7 सेमी ऊँचाई वाले सिलेंडर का आयतन क्या है?
आयतन = π * (3 सेमी) 2 * 7 सेमी = π * 9 सेमी² * 7 सेमी = 63π सेमी 3निष्कर्ष
सतह क्षेत्रफल और आयतन का ज्ञान ज्यामिति और वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण है। उपहार लपेटने से लेकर पूल भरने तक, ये गणनाएँ हमें दैनिक समस्याओं को हल करने में मदद करती हैं। यह मार्गदर्शिका आपको इन अवधारणाओं को सरलता से समझने में मदद करेगी जोकि दी गई व्याख्याओं और उदाहरणों द्वारा प्रदान की गई हैं। इन विचारों को सुदृढ़ करने के लिए अतिरिक्त समस्याओं के साथ अभ्यास करें!
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