Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Área de figuras planas


La medición es una rama de las matemáticas que se ocupa de medir las dimensiones de figuras planas y sólidas. Comprender el área de las figuras planas es una parte esencial de la medición, especialmente para los estudiantes de décimo grado que están comenzando a explorar conceptos matemáticos más avanzados. En esta guía detallada, revisaremos el área de varias figuras planas como triángulo, rectángulo, cuadrado, paralelogramo, trapecio, círculo, etc., utilizando un enfoque simple y completo.

Introducción a las figuras planas

Las figuras planas son formas planas bidimensionales que se encuentran en un plano. Tienen longitud y ancho pero no profundidad. Ejemplos de figuras planas incluyen triángulos, rectángulos, círculos y más. El área de una figura plana es la medida del área encerrada dentro de sus líneas de contorno. Usualmente se mide en unidades cuadradas como centímetros cuadrados, metros cuadrados, etc.

Calculando el área

Cada figura plana tiene una fórmula específica para encontrar su área. Estas fórmulas ayudan a determinar cuánto espacio ocupa la figura. Veamos ahora las fórmulas de área para algunas figuras planas comunes.

1. Área de un rectángulo

Un rectángulo es una forma de cuatro lados cuyos lados opuestos son iguales y paralelos, y cada ángulo es un ángulo recto.

Fórmula: Área de un rectángulo = longitud × ancho
L × B

Por ejemplo, si la longitud de un rectángulo es de 10 unidades y el ancho es de 5 unidades, su área es:

Área = 10 × 5 = 50 unidades cuadradas

2. Área del cuadrado

Un cuadrado es una forma de cuatro lados en la cual todos los lados son iguales y cada ángulo es un ángulo recto.

Fórmula: Área de un cuadrado = lado × lado = lado²
S²

Por ejemplo, si la longitud del lado de un cuadrado es de 6 unidades, su área será:

Área = 6 × 6 = 36 unidades cuadradas

3. Área de un triángulo

Un triángulo es un polígono con tres lados. El área puede calcularse usando varias fórmulas basadas en los datos proporcionados. Una fórmula general para triángulos rectángulos es:

Fórmula: Área = ½ × base × altura
½ × B × H

Por ejemplo, si un triángulo rectángulo tiene una base de 8 unidades y una altura de 5 unidades, su área es:

Área = ½ × 8 × 5 = 20 unidades cuadradas

4. Área de un paralelogramo

Un paralelogramo es una figura de cuatro lados cuyos lados opuestos son iguales y paralelos.

Fórmula: Área = Base × Altura
B × H

Por ejemplo, si la base de un paralelogramo es de 9 unidades y la altura es de 4 unidades, su área es:

Área = 9 × 4 = 36 unidades cuadradas

5. Área de un trapecio

Un trapecio es una forma de cuatro lados con un par de lados paralelos.

Fórmula: Área = ½ × (base1 + base2) × altura
½ × (b₁ + b₂) × h

Por ejemplo, si las bases de un trapecio miden 12 unidades y 8 unidades de largo, y la altura es de 5 unidades, su área es:

Área = ½ × (12 + 8) × 5 = ½ × 20 × 5 = 50 unidades cuadradas

6. Área de un círculo

Un círculo es una figura circular, cada punto de cuyo contorno está a la misma distancia de su centro.

Fórmula: Área = π × radio²
πr²

Por ejemplo, si el radio de un círculo es de 7 unidades, su área será:

Área = π × 7² = 154 unidades cuadradas (usando π ≈ 22/7 o 3.14)

Figuras combinadas

Las formas compuestas son aquellas que contienen más de una forma básica. Calcular su área implica sumar o restar las áreas de las formas conocidas. Veamos un ejemplo para entender mejor este concepto.

Ejemplo de una forma combinada

Considere una figura que tiene un rectángulo en un lado y un semicírculo en el otro.

Si la longitud del rectángulo es de 200 unidades y el ancho es de 100 unidades, y el radio del semicírculo es de 100 unidades, entonces tenemos que encontrar el área de la figura compuesta.

Primero, encuentre el área del rectángulo:

Área del rectángulo = longitud × ancho = 200 × 100 = 20,000 unidades cuadradas

A continuación, encuentre el área del semicírculo:

Área de un círculo = π × radio² = π × 100² = 31,400 unidades cuadradas (aprox.)
Área del semicírculo = ½ × 31,400 = 15,700 unidades cuadradas (aprox.)

Finalmente, sume las áreas del rectángulo y el semicírculo para obtener el área total:

Área total = 20,000 + 15,700 = 35,700 unidades cuadradas (aprox.)

Conclusión

El estudio de las áreas de figuras planas es fundamental para comprender la geometría y sus aplicaciones en situaciones de la vida real. Al dominar estos conceptos y fórmulas básicas, los estudiantes pueden resolver una amplia variedad de problemas no solo en matemáticas, sino también en campos como la arquitectura, la ingeniería y el diseño, donde tal conocimiento se aplica prácticamente. Con práctica, los cálculos se vuelven intuitivos, permitiendo una mayor exploración de formas geométricas más complejas y sus propiedades.


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