10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

10º ano ↓


Geometria


Geometria é um ramo da matemática que lida com as propriedades das formas, tamanhos e espaço. É uma matéria que é tanto prática quanto estética, ajudando-nos a entender o mundo ao nosso redor. No 10º ano de matemática, a geometria introduz vários tópicos que envolvem o estudo de várias formas geométricas, teoremas e conceitos. A compreensão desses tópicos é útil em vários campos, como engenharia, arquitetura, arte e design.

Formas básicas e definições

A geometria começa com a compreensão de algumas formas básicas e suas definições. Estas formam a base para estudos mais complexos.

  • Ponto: Um ponto é uma localização no espaço. Não tem tamanho, largura, comprimento e profundidade. É representado por um ponto e geralmente é designado por uma letra, por exemplo, A
  • Linha: Uma linha é uma coleção de pontos que se estende infinitamente em duas direções. Tem comprimento, mas não tem espessura e geralmente é representada por dois pontos ao longo da linha, como Linha AB.
  • Segmento de linha: Uma porção de uma linha delimitada por dois pontos distintos, contendo cada ponto na linha entre seus extremos. Exemplo: Segmento CD.
  • Raio: Um raio é uma parte de uma linha que começa de um ponto e vai ao infinito em uma direção particular. É representado como Raio EF.
  • Ângulo: Um ângulo é formado por dois raios (lados do ângulo) que têm um ponto final comum (vértice). É medido em graus. Exemplo: <GHI = 45°.

Triângulo

Um triângulo é um polígono com três lados. É uma das formas mais simples na geometria. O estudo dos triângulos envolve entender os tipos de triângulos e suas propriedades.

Tipos de triângulos de acordo com os lados

  • Triângulo equilátero: Todos os três lados têm o mesmo comprimento. Cada ângulo interno é de 60 graus.
  • Triângulo isósceles: Tem dois lados de comprimento igual. Os ângulos opostos a estes lados também são iguais.
  • Triângulo escaleno: Todos os lados têm comprimentos diferentes e todos os ângulos são diferentes.

Tipos de triângulos com base nos ângulos

  • Triângulo acutângulo: Todos os ângulos são menores que 90 graus.
  • Triângulo retângulo: Tem um ângulo de 90 graus.
  • Triângulo obtusângulo: Um de seus ângulos é maior que 90 graus.

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é um princípio fundamental na geometria, particularmente útil na compreensão de triângulos retângulos. Ele afirma que em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados. Isto pode ser expresso pela fórmula:

a 2 + b 2 = c 2

onde c é a hipotenusa, e a e b são os outros dois lados.

Quadrilátero

Quadriláteros são polígonos com quatro lados e quatro vértices. Eles vêm em diferentes formas, cada uma das quais tem propriedades diferentes.

Tipos comuns de quadriláteros

  • Quadrado: Um quadrilátero com todos os lados de igual comprimento e todos os ângulos iguais a 90 graus.
  • Retângulo: Lados opostos são iguais em comprimento e todos os ângulos são de 90 graus. Este é essencialmente um "quadrado alongado."
  • Losango: Todos os lados têm o mesmo comprimento, como um quadrado, mas os ângulos não são necessariamente 90 graus.
  • Paralelogramo: Lados opostos são paralelos e de igual comprimento, e ângulos opostos também são iguais.
  • Trapézio (ou trapézio na língua inglesa britânica): tem apenas um par de lados paralelos.

Círculos

Um círculo é uma figura circular que não tem cantos ou arestas. É definido como o conjunto de todos os pontos em um plano que estão a uma distância fixa do ponto central.

Partes de um círculo

  • Raio: A distância do centro de um círculo a qualquer ponto no círculo.
  • Diâmetro: A linha que passa pelo centro de um círculo e tem seus pontos finais no círculo. É duas vezes o comprimento do raio.
  • Circunferência: A distância ao redor de um círculo. É calculada usando a fórmula C = 2 π r, onde r é o raio.
  • Arco: Uma porção da circunferência de um círculo.
  • Corda: Um segmento de linha cujos pontos finais estão no círculo.
  • Tangente: Uma linha que toca um círculo em exatamente um ponto.

Um círculo também pode ser representado por esta equação: (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2, onde (h, k) é o centro e r é o raio.

Perímetro e área

Perímetro refere-se à distância total ao redor de uma forma, enquanto área é uma medida do espaço ocupado por uma forma. Aqui estão fórmulas básicas para calcular o perímetro e a área de algumas formas comuns.

Fórmula do perímetro

  • Retângulo: 2(comprimento + largura)
  • Quadrado: 4 × lado
  • Triângulo: a + b + c, onde a, b, c são os comprimentos dos lados
  • Círculo (circunferência): 2πr

Fórmula da área

  • Retângulo: comprimento × largura
  • Quadrado: lado 2
  • Triângulo: 0,5 × base × altura
  • Círculo: πr 2

Congruência e semelhança

Na geometria, os conceitos de congruência e semelhança são importantes para entender como as formas se relacionam umas com as outras.

Formas semelhantes

Figuras semelhantes têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Seus lados são proporcionais e os ângulos são iguais. Se o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF, então AB/DE = BC/EF = CA/FD, e os ângulos correspondentes são iguais.

Transformações

Transformações na geometria envolvem mover ou mudar uma forma de alguma maneira, enquanto mantém sua integridade. Existem quatro tipos principais de transformações.

Tipos de mudanças

  • Translação: Isso implica mover uma forma de um lugar para outro sem girá-la ou virá-la.
  • Rotação: Nisso, uma figura é rotacionada sobre um ponto fixo chamado centro de rotação.
  • Reflexão: Isso envolve virar uma figura em uma linha para formar uma imagem espelhada.
  • Escala: Isso implica em alterar o tamanho de uma forma, tornando-a maior ou menor, enquanto mantém suas proporções intactas.

Geometria coordenada

Geometria coordenada, também chamada de geometria analítica, é o estudo da geometria usando sistemas de coordenadas. Isso envolve o uso de álgebra para entender e resolver problemas geométricos.

Plano cartesiano

O plano cartesiano é um sistema de coordenadas bidimensional definido por uma linha horizontal conhecida como eixo x e uma linha vertical chamada eixo y. O ponto onde os dois eixos se cruzam é a origem, que tem coordenadas (0, 0).

Inclinação da linha

A inclinação de uma linha no plano cartesiano é uma medida da sua inclinação e direção. É calculada da seguinte forma:

m = (y 2 - y 1) / (x 2 - x 1)

onde (x 1, y 1) e (x 2, y 2) são quaisquer dois pontos na linha.

Equação da linha

A equação de uma linha pode ser escrita em diferentes formas, tais como:

Forma de interceptação da inclinação: y = mx + b, onde m é a inclinação e b é a interceptação no eixo y.

Forma padrão: Ax + By = C, onde A, B, e C são constantes.

Forma ponto-inclinação: y - y 1 = m(x - x 1), onde (x 1, y 1) é um ponto na linha e m é a inclinação.

Conclusão

Geometria é um campo vasto e fascinante que nos fornece as ferramentas para ver e entender o mundo de uma maneira matemática. Desde compreender formas básicas até resolver problemas complexos, os princípios da geometria são extremamente úteis e importantes. Ao dominar a geometria, você ganha uma base que apoia o estudo posterior em matemática e várias aplicações no mundo real.

Uma boa compreensão da geometria é muito importante na Matemática de Classe 10, pois prepara o terreno para estudos mais avançados e aplicações no ensino superior e em várias carreiras. Os conceitos abordados aqui, embora elementares, fazem parte de uma abordagem estruturada de aprendizado para entender problemas e teoremas geométricos mais complexos que são encontrados em estudos posteriores.


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