10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

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Tangente a um círculo


No mundo da geometria, uma tangente é uma linha que toca um círculo em exatamente um ponto. Este ponto é conhecido como "ponto de tangência". A tangente a um círculo é sempre perpendicular ao raio desenhado no ponto de tangência. Esta propriedade interessante ajuda a resolver vários problemas geométricos.

Compreendendo o conceito de tangente a um círculo

Imagine uma superfície plana - um pedaço de papel. Agora, coloque um objeto circular, como uma moeda, sobre esse papel. O papel é o plano, e a borda da moeda representa o círculo. Se você pegar uma régua e tocar a borda da moeda de tal modo que apenas toca a borda e não penetra ou se afasta dela, você está criando uma linha tangente.

Na linguagem matemática, a linha tangente ((L)) a um determinado círculo ((C)) em um ponto (P) do círculo satisfaz as seguintes propriedades:

  • (L) toca o círculo (C) em exatamente um ponto (P), conhecido como ponto de contato.
  • A linha tangente é perpendicular ao raio desenhado do centro do círculo até o ponto de contato.
Centro P linha tangente

Na imagem acima:

  • O círculo preto representa o círculo (C).
  • A linha azul do centro do círculo ao ponto (P) mostra o raio.
  • O ponto (P) é o ponto de toque onde a linha verde (tangente) encontra o círculo.
  • A linha vermelha representa outra tangente a este círculo que é perpendicular ao raio.

Representação matemática

A equação de um círculo com centro ((h, k)) e raio (r) em um plano de coordenadas é dada por:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

A linha com a equação (y = mx + c) pode ser tangente a este círculo se e somente se o conjunto de equações tiver exatamente uma solução onde a equação da linha e a equação do círculo se cruzam. Isso ocorre quando o discriminante da equação quadrática formada é zero.

Propriedades das tangentes

Vamos dar uma olhada mais de perto em algumas propriedades das tangentes a um círculo:

Propriedades do raio perpendicular

Uma propriedade básica de uma tangente a um círculo é que a tangente é perpendicular ao raio no ponto de contato.

R T linha tangente

Aqui, a linha preta (RT) é o raio e a linha vermelha é a tangente no ponto (T).

Comprimento do segmento tangente

Se duas tangentes são traçadas a um círculo a partir de um ponto externo, então o comprimento de ambas as tangentes é igual. Deixe (T_1) e (T_2) serem os pontos de tangência, então:

PT_1 = PT_2

Teorema da cláusula alternada

O teorema do segmento alternado afirma que o ângulo entre a tangente e a corda no ponto de contato é igual ao ângulo formado no segmento alternado.

Construções envolvendo tangentes

Nesta seção, exploraremos algumas técnicas de construção geométrica relacionadas a tangentes a um círculo. Usando um compasso, linha reta e lápis, vamos construir uma tangente a um círculo a partir de um ponto externo dado.

Construção passo a passo

  1. Desenhe um círculo: Desenhe um círculo com centro (O) e raio (r).
  2. Selecione um ponto externo: Marque um ponto externo (A) fora do círculo.
  3. Encontre o ponto médio: Usando um compasso, encontre o ponto médio (M) de (OA). Isso é feito desenhando arcos acima e abaixo da linha (OA) e depois conectando seus pontos de interseção.
  4. Desenhe um círculo com centro (M): Desenhe outro círculo com centro (M) e raio (MO). Este círculo irá intersectar o círculo original em dois pontos.
  5. Encontre o ponto de tangência: O círculo original irá intersectar este novo círculo em dois pontos, diga (P) e (Q). Estes são os pontos de tangência.
  6. Desenhe as tangentes: Desenhe as linhas retas (AP) e (AQ). Estas são tangentes ao círculo do ponto (A).
O M A P Q N

De acordo com esta construção:

  • As linhas vermelhas são tangentes do ponto (A) ao círculo nos pontos (P) e (Q).
  • O círculo azul tracejado ajuda a identificar os pontos de toque.

Exemplos da vida real de tangentes

Compreender tangentes não está limitado apenas a problemas geométricos. Elas também aparecem em situações da vida real. Aqui estão alguns exemplos:

  • Rodas de bicicleta: As rodas da bicicleta tocam o solo em exatamente um ponto, formando uma tangente.
  • Lentes de contato: A lente fica na superfície do olho, o que pode ser pensado como formando uma tangente com a curvatura do olho.
  • Órbitas de satélites: Os caminhos dos satélites também podem descrever uma tangente à medida que orbitam planetas.

Aprendendo através de exemplos

Vamos olhar alguns exemplos para reforçar nossa compreensão das tangentes a um círculo.

Exemplo 1

Problema: Encontre a inclinação da tangente ao círculo no ponto (5, 1) dado pela equação ((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25).

Solução: Primeiro, encontre a derivada da equação do círculo. O centro do círculo é (2, -3) com raio 5.

A equação do círculo é:

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25

A inclinação do raio em qualquer ponto ((x, y)) é a inclinação entre (2, -3) e ((x, y)). A inclinação do raio no ponto (5, 1) é:

m = (1 + 3) / (5 - 2) = 4/3

A inclinação da tangente é o recíproco negativo desta inclinação (porque o raio e a tangente são perpendiculares):

m_tangente = -3/4

Exemplo 2

Problema: Duas tangentes são desenhadas a partir de um ponto externo (A) para um círculo com centro (O). Prove que (angle OAP = angle OAQ), onde (P) e (Q) são os pontos de tangência.

Solução: Quando duas tangentes são desenhadas para um círculo a partir de um ponto externo, então seu comprimento é igual.

Portanto, (AP = AQ).

Como os triângulos (OAP) e (OAQ) compartilham a linha (OA) e (OP = OQ) pois são raios do círculo, os dois triângulos são congruentes de acordo com o Critério RHS (Hipotenusa Retângulo).

Portanto, (angle OAP = angle OAQ) por partes correspondentes de triângulos congruentes.

Os exemplos acima ilustram os princípios básicos de resolução de problemas geométricos envolvendo tangentes.

Conclusão

As tangentes a um círculo são um dos conceitos fundamentais da geometria. Compreender e construir tangentes requer conhecimento de círculos, linhas e trigonometria básica. As tangentes sempre mantêm uma relação perpendicular com o raio, o que é uma propriedade essencial usada na resolução de problemas. Reconhecer padrões, aplicar os princípios de perpendicularidade e empregar técnicas de construção geométrica ajudam a entender e visualizar melhor o conceito de tangentes. Seja na matemática ou em aplicações da vida real, as tangentes desempenham um papel vital em envolver nosso mundo com geometria.


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