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वृत्त की स्पर्श रेखा
ज्यामिति की दुनिया में, स्पर्श रेखा एक ऐसी रेखा होती है जो किसी वृत्त को ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करती है। इस बिंदु को "स्पर्श बिंदु" कहा जाता है। वृत्त की स्पर्श रेखा हमेशा उस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंब होती है जहाँ से यह स्पर्श करती है। यह रोचक गुण विभिन्न ज्यामिति प्रश्नों को हल करने में मदद करता है।
वृत्त की स्पर्श रेखा की अवधारणा को समझना
कल्पना करें कि आपके पास एक समतल सतह है - एक कागज़ का टुकड़ा। अब, इस कागज़ पर एक गोल वस्तु, जैसे कि एक सिक्का, रखें। कागज़ को विमान और सिक्के के किनारे को वृत्त मान लें। यदि आप एक स्केल लें और सिक्के के किनारे को इस तरह से छूते हैं कि वह केवल किनारे को छूता है और इसमें अंदर या बाहर नहीं जाता है, तो आप एक स्पर्श रेखा बना रहे हैं।
गणितीय भाषा में, किसी वृत्त ((C)) पर किसी बिंदु (P) के लिए स्पर्श रेखा ((L)) निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करती है:
- (L) वृत्त (C) को ठीक एक बिंदु (P) पर स्पर्श करती है, जिसे स्पर्श बिंदु कहा जाता है।
- स्पर्श रेखा, केंद्र से स्पर्श बिंदु तक खींची गई त्रिज्या के लंब होती है।
उपरोक्त चित्र में:
- काली वृत्त वृत्त (C) का प्रतिनिधित्व करती है।
- केंद्र से बिंदु (P) तक की नीली रेखा त्रिज्या को दर्शाती है।
- बिंदु (P) वह स्पर्श बिंदु है जहाँ हरी रेखा (स्पर्श रेखा) वृत्त से मिलती है।
- लाल रेखा उस वृत्त की दूसरी स्पर्श रेखा का प्रतिनिधित्व करती है जो त्रिज्या के लंब में है।
गणितीय प्रतिनिधित्व
निर्देशांक तल में केंद्र ((h, k)) और त्रिज्या (r) वाले एक वृत्त का समीकरण निम्नानुसार होता है:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2रेखा का समीकरण (y = mx + c) तभी इस वृत्त को स्पर्श कर सकती है जब रेखा के समीकरण और वृत्त के समीकरण का सेट एक ही समाधान हो। यह तब होता है जब बनने वाले वर्ग समीकरण का विविक्तक शून्य हो।
स्पर्श रेखा के गुण
आइए वृत्त की स्पर्श रेखा के कुछ गुणों पर विस्तार से नजर डालें:
लंब त्रिज्या गुण
वृत्त की स्पर्श रेखा का एक बुनियादी गुण होता है कि स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा त्रिज्या के लंब में होती है।
यहाँ, काली रेखा (RT) त्रिज्या है और लाल रेखा बिंदु (T) पर स्पर्श रेखा है।
स्पर्श खंड की लंबाई
यदि किसी बाहरी बिंदु से एक वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं, तो दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है। मान ले (T_1) और (T_2) स्पर्श बिंदु हैं, तो:
PT_1 = PT_2वैकल्पिक खंड का प्रमेय
वैकल्पिक खंड का प्रमेय कहता है कि स्पर्श और स्पर्श बिंदु पर जीवा के बीच का कोण वैकल्पिक खंड में बनाए गए कोण के समान होता है।
स्पर्श रेखाओं को शामिल करने वाले निर्माण कार्य
इस अनुभाग में, हम वृत्त की स्पर्श रेखाओं से संबंधित कुछ ज्यामितीय निर्माण तकनीकों का पता लगाएंगे। एक कम्पास, सीधी रेखा, और पेंसिल का उपयोग करके, आइए किसी दिए गए बाहरी बिंदु से वृत्त के लिए एक स्पर्श रेखा का निर्माण करें।
चरण-दर-चरण निर्माण
- वृत्त बनाएं: केंद्र (O) और त्रिज्या (r) के साथ एक वृत्त बनाएं।
- एक बाहरी बिंदु चुनें: वृत्त के बाहर एक बाहरी बिंदु (A) को चिह्नित करें।
- मध्य बिंदु ज्ञात करें: कम्पास का उपयोग करके, (OA) का मध्य बिंदु (M) ज्ञात करें। यह (OA) पर ऊपर और नीचे आर्क खींचकर और फिर उनके प्रतिच्छेद बिंदुओं को जोड़कर किया जाता है।
- केंद्र (M) के साथ वृत्त खींचें: केंद्र (M) और त्रिज्या (MO) के साथ एक और वृत्त खींचें। यह वृत्त मूल वृत्त के साथ दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेगा।
- स्पर्श बिंदु ज्ञात करें: मूल वृत्त इस नए वृत्त के साथ दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेगा, जिन्हें (P) और (Q) कहते हैं। ये स्पर्श बिंदु हैं।
- स्पर्श रेखाएँ खींचें: सीधी रेखा (AP) और (AQ) खींचें। ये बिंदु (A) से वृत्त के स्पर्श रेखाएँ हैं।
इस निर्माण के अनुसार:
- लाल रेखाएँ बिंदु (A) से वृत्त के स्पर्श बिंदुओं (P) और (Q) के लिए स्पर्श रेखाएँ हैं।
- नीला धारीदार वृत्त स्पर्श बिंदुओं की पहचान करने में मदद करता है।
स्पर्श रेखाओं के वास्तविक जीवन के उदाहरण
स्पर्श रेखाओं को समझना केवल ज्यामिति समस्याओं तक ही सीमित नहीं है। ये वास्तविक जीवन की स्थितियों में भी दिखाई देती हैं। यहाँ कुछ उदाहरण हैं:
- साइकिल के पहिये: साइकिल के पहिये ज़मीन को ठीक एक बिंदु पर छूते हैं, जिससे स्पर्श रेखा बनती है।
- आंखों के संपर्क लेंस: लेंस आंख की सतह पर बैठते हैं, जो आंख की वक्रता के साथ स्पर्श रेखा बना सकता है।
- उपग्रह की कक्षाएँ: उपग्रह के मार्ग ग्रहों के चारों ओर एक स्पर्श रेखा का वर्णन कर सकते हैं।
उदाहरणों के माध्यम से सीखना
आइए कुछ उदाहरणों को देखें ताकि वृत्त की स्पर्श रेखाओं की समझ को और मजबूत किया जा सके।
उदाहरण 1
समस्या: उस बिंदु (5, 1) पर वृत्त की स्पर्श रेखा का ढाल ज्ञात करें जिसे समीकरण ((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25) द्वारा दिया गया है।
समाधान: पहले, वृत्त के समीकरण के व्युत्पन्न को ज्ञात करें। वृत्त का केंद्र (2, -3) और त्रिज्या 5 है।
वृत्त का समीकरण है:
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25किसी भी बिंदु ((x, y)) पर त्रिज्या का ढाल वह ढाल है जो (2, -3) और ((x, y)) के बीच का ढाल है। बिंदु (5, 1) पर त्रिज्या का ढाल है:
m = (1 + 3) / (5 - 2) = 4/3स्पर्श रेखा का ढाल इस ढाल का नकारात्मक प्रतिलोम है (क्योंकि त्रिज्या और स्पर्श रेखा लंब होते हैं):
m_tangent = -3/4उदाहरण 2
समस्या: एक बाहरी बिंदु (A) से वृत्त के केंद्र (O) को दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं। सिद्ध करें कि (angle OAP = angle OAQ), जहाँ (P) और (Q) स्पर्श बिंदु हैं।
समाधान: जब एक बाहरी बिंदु से एक वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं, तो उनकी लंबाई समान होती है।
इसलिए, (AP = AQ)।
चूँकि त्रिभुज (OAP) और (OAQ) रेखा (OA) को साझा करते हैं और (OP = OQ) होते हैं क्योंकि ये वृत्त की त्रिज्या हैं, दोनों त्रिभुज RHS (Right Hypotenuse) मानदंड के अनुसार समान होते हैं।
इसलिए, (angle OAP = angle OAQ) त्रिभुजों के समान भागों के अनुसार होता है।
उपरोक्त उदाहरण उन बुनियादी सिद्धांतों को दर्शाते हैं जिनका उपयोग ज्यामिति समस्याओं को हल करने में स्पर्श रेखाओं के संदर्भ में किया जाता है।
निष्कर्ष
वृत्त की स्पर्श रेखाएँ ज्यामिति के मौलिक अवधारणाओं में से एक हैं। स्पर्श रेखाओं को समझना और निर्माण करना वृत्त, रेखाएँ, और मूल त्रिकोणमिति के ज्ञान की आवश्यकता होती है। स्पर्श रेखाएँ हमेशा त्रिज्या के साथ लंब संबंध बनाए रखती हैं, जो समस्या समाधान में एक आवश्यक गुण है। पैटर्न को पहचानना, लंबाई के सिद्धांतों को लागू करना, और ज्यामितीय निर्माण तकनीकों का उपयोग करना स्पर्श रेखाओं की अवधारणा को बेहतर तरीके से समझने और देखने में मदद करता है। चाहे गणित में हो या वास्तविक जीवन के अनुप्रयोगों में, स्पर्श रेखाएँ ज्यामिति के साथ हमारे संसार को लपेटने में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं।
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