Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Tangente a un círculo


En el mundo de la geometría, una tangente es una línea que toca un círculo en exactamente un punto. Este punto se conoce como el "punto de tangencia". La tangente a un círculo es siempre perpendicular al radio trazado en el punto de tangencia. Esta interesante propiedad ayuda a resolver diversos problemas geométricos.

Comprendiendo el concepto de tangente a un círculo

Imagina una superficie plana, un pedazo de papel. Ahora, coloca un objeto circular, como una moneda, sobre este papel. El papel es el plano, y el borde de la moneda representa el círculo. Si tomas una regla y tocas el borde de la moneda de tal manera que solo toca el borde y no se aleja ni entra, estás creando una línea tangente.

En lenguaje matemático, la línea tangente ((L)) a un círculo dado ((C)) en un punto (P) del círculo cumple las siguientes propiedades:

  • (L) toca el círculo (C) en exactamente un punto (P), conocido como el punto de contacto.
  • La línea tangente es perpendicular al radio trazado desde el centro del círculo al punto de contacto.
Centro P línea tangente

En la imagen anterior:

  • El círculo negro representa el círculo (C).
  • La línea azul desde el centro del círculo al punto (P) muestra el radio.
  • El punto (P) es el punto de contacto donde la línea verde (tangente) se encuentra con el círculo.
  • La línea roja representa otra tangente a este círculo que es perpendicular al radio.

Representación matemática

La ecuación de un círculo con centro ((h, k)) y radio (r) en un plano de coordenadas se da por:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

La línea con la ecuación (y = mx + c) puede ser tangente a este círculo si y solo si el conjunto de ecuaciones tiene exactamente una solución donde la ecuación de la línea y la ecuación del círculo se intersectan. Esto ocurre cuando el discriminante de la ecuación cuadrática formada es cero.

Propiedades de las tangentes

Veamos más de cerca algunas propiedades de las tangentes a un círculo:

Propiedades del radio perpendicular

Una propiedad básica de una tangente a un círculo es que la tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto.

R Té línea tangente

Aquí, la línea negra (RT) es el radio y la línea roja es la tangente en el punto (T).

Longitud del segmento de tangente

Si se dibujan dos tangentes a un círculo desde un punto externo, entonces la longitud de ambas tangentes es igual. Sean (T_1) y (T_2) los puntos de tangencia, entonces:

PT_1 = PT_2

Teorema de alternancia

El teorema de secciones alternas establece que el ángulo entre la tangente y la cuerda en el punto de contacto es igual al ángulo formado en la sección alterna.

Construcciones que involucran tangentes

En esta sección, exploraremos algunas técnicas de construcción geométrica relacionadas con las tangentes a un círculo. Usando un compás, una línea recta y un lápiz, vamos a construir una tangente a un círculo desde un punto externo dado.

Construcción paso a paso

  1. Dibuja un círculo: Dibuja un círculo con centro (O) y radio (r).
  2. Selecciona un punto externo: Marca un punto externo (A) fuera del círculo.
  3. Encuentra el punto medio: Usando un compás, encuentra el punto medio (M) de (OA). Esto se hace dibujando arcos por encima y por debajo de la línea (OA) y luego conectando sus puntos de intersección.
  4. Dibuja un círculo con centro (M): Dibuja otro círculo con centro (M) y radio (MO). Este círculo intersectará el círculo original en dos puntos.
  5. Encuentra el punto de tangencia: El círculo original intersectará este nuevo círculo en dos puntos, digamos (P) y (Q). Estos son los puntos de tangencia.
  6. Dibuja tangentes: Dibuja líneas rectas (AP) y (AQ). Estas son tangentes al círculo desde el punto (A).
Hola M A P Por qué N

Según esta construcción:

  • Las líneas rojas son tangentes desde el punto (A) al círculo en los puntos (P) y (Q).
  • El círculo azul discontinuo ayuda a identificar puntos de contacto.

Ejemplos reales de tangentes

Comprender las tangentes no se limita solo a problemas geométricos. También aparecen en situaciones de la vida real. Aquí algunos ejemplos:

  • Ruedas de bicicleta: Las ruedas de bicicleta tocan el suelo en exactamente un punto, formando una tangente.
  • Lentes de contacto: La lente se coloca sobre la superficie del ojo, lo que se puede considerar como la formación de una tangente con la curvatura del ojo.
  • Órbitas de satélite: Las trayectorias de los satélites también pueden describir una tangente mientras orbitan alrededor de los planetas.

Aprendizaje a través de ejemplos

Veamos algunos ejemplos para fortalecer nuestra comprensión de las tangentes a un círculo.

Ejemplo 1

Problema: Encuentra la pendiente de la tangente al círculo en el punto (5, 1) dado por la ecuación ((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25).

Solución: Primero, halla la derivada de la ecuación del círculo. El centro del círculo es (2, -3) con radio 5.

La ecuación del círculo es:

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25

La pendiente del radio en cualquier punto ((x, y)) es la pendiente entre (2, -3) y ((x, y)). La pendiente del radio en el punto (5, 1) es:

m = (1 + 3) / (5 - 2) = 4/3

La pendiente de la tangente es el recíproco negativo de esta pendiente (porque el radio y la tangente son perpendiculares):

m_tangente = -3/4

Ejemplo 2

Problema: Se dibujan dos tangentes desde un punto externo (A) a un círculo con centro (O). Demuestra que (angle OAP = angle OAQ), donde (P) y (Q) son los puntos de tangencia.

Solución: Cuando se dibujan dos tangentes a un círculo desde un punto externo, su longitud es igual.

Por lo tanto, (AP = AQ).

Dado que los triángulos (OAP) y (OAQ) comparten la línea (OA) y (OP = OQ) ya que son radios del círculo, los dos triángulos son congruentes según el criterio RHS (Hipotenusa Recta).

Por lo tanto, (angle OAP = angle OAQ) por partes correspondientes de triángulos congruentes.

Los ejemplos anteriores ilustran los principios básicos para resolver problemas geométricos que involucran tangentes.

Conclusión

Las tangentes a un círculo son uno de los conceptos fundamentales en geometría. Comprender y construir tangentes requiere conocimiento de círculos, líneas y trigonometría básica. Las tangentes siempre mantienen una relación perpendicular con el radio, lo cual es una propiedad esencial utilizada en la resolución de problemas. Reconocer patrones, aplicar los principios de perpendicularidad y emplear técnicas de construcción geométrica ayudan a comprender y visualizar mejor el concepto de tangentes. Ya sea en matemáticas o en aplicaciones de la vida real, las tangentes juegan un papel vital en envolver nuestro mundo con geometría.


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