Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Construcción de triángulos similares


La geometría es un área fascinante de las matemáticas que nos ayuda a entender las formas y espacios que nos rodean. Un concepto importante en geometría es la idea de triángulos similares. Los triángulos similares son triángulos que tienen la misma forma, pero pueden variar en tamaño. Esto significa que sus ángulos correspondientes son iguales y los lados son proporcionales.

¿Qué son los triángulos similares?

Los triángulos similares tienen ángulos correspondientes iguales y lados correspondientes proporcionales. Esto significa que si un triángulo se puede agrandar o reducir manteniendo el mismo tamaño, entonces estos triángulos se llaman triángulos similares. Por ejemplo, si el triángulo ABC y el triángulo DEF son similares, entonces:

    ∠A = ∠D
    ∠B = ∠E
    ∠C = ∠F

Y los lados correspondientes están en proporción de la siguiente manera:

    AB/DE = BC/EF = CA/FD

Principios básicos de la construcción

La construcción de triángulos similares se basa en ciertos principios geométricos. Estos principios nos permiten construir un triángulo que tenga la misma forma que un triángulo dado, pero tenga un tamaño diferente. Los principales principios utilizados en la construcción de triángulos similares se dan a continuación.

Criterio de Ángulo-Ángulo (AA)

Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son similares. En geometría, esto se llama el criterio de similitud de ángulo-ángulo (AA). Funciona de la siguiente manera:

    1. Dados: Dos triángulos con dos ángulos iguales.
    2. Construcción: Construir un triángulo a partir de los triángulos dados.
    3. Reproducir: Dibujar líneas paralelas a los lados del triángulo original desde los extremos de un segmento de línea.

Ejemplo visual:

A B C D I F

En el ejemplo visual anterior, el triángulo ABC es similar al triángulo DEF mediante el criterio AA, ya que sus ángulos correspondientes son iguales.

Criterio de Lado-Ángulo-Lado (LAL)

Si un ángulo de un triángulo es igual a un ángulo de otro triángulo y los lados que incluyen estos ángulos son proporcionales, entonces los triángulos son similares según el criterio de Lado-Ángulo-Lado (LAL). Aquí está el procedimiento:

    1. Dados: Un ángulo de un triángulo es igual a un ángulo de otro triángulo cuyos lados alrededor de los ángulos son proporcionales.
    2. Construcción: Utilizar el ángulo y un lado para comenzar a construir un triángulo.
    3. Escalar: Construir lados utilizando una relación proporcional.

Por ejemplo, en el triángulo ABC y el triángulo DEF:

    ∠A = ∠D
    AB/DE = AC/DF

Criterio de Lado-Lado-Lado (LLL)

El criterio de Lado-Lado-Lado (LLL) para triángulos similares sugiere que si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, entonces los dos triángulos son similares entre sí. Así es como se utiliza:

    1. Dados: Lados proporcionales de dos triángulos.
    2. Construcción: Comenzar primero con un lado del triángulo.
    3. Escalar: Utilizar la igualdad proporcional para extender o acortar los otros lados.

Pasos para dibujar triángulos similares

Veamos el proceso de construir un triángulo similar al triángulo dado usando pasos prácticos. Estos pasos se pueden seguir utilizando las herramientas tradicionales usadas en geometría, compás, regla y transportador.

Construcción paso a paso usando el criterio AA

Considere dos triángulos, donde tiene que construir un triángulo similar al triángulo dado:

  1. Comience dibujando una línea de cualquier longitud.
  2. En un extremo de la línea, reconstruir uno de los ángulos dados del triángulo original usando el transportador.
  3. En el otro extremo, reconstruir el otro ángulo.
  4. Extender las líneas hasta que se unan para formar un triángulo.

Pruebe esto:

Consideremos el triángulo ABC donde ∠ABC = 60° y ∠BCA = 50°.

  1. Dibujar la línea BC.
  2. Construir un ángulo ∠ABC = 60° en el punto B.
  3. Construir un ángulo ∠BCA = 50° en el punto C.
  4. Extender las líneas hasta que se encuentren en el punto A, formando un triángulo.

Ejemplo visual:

A B C

Ajuste del tamaño

Para hacer un triángulo más grande o más pequeño manteniendo la similitud, mida las longitudes de los lados manteniendo constantes los ángulos.

Usos prácticos de los triángulos similares

Los triángulos similares son fundamentales en muchas aplicaciones, como topografía, construcción de maquetas y arte. Ayudan a crear ilusiones ópticas en arquitectura utilizando los principios de escalado proporcional, y en ingeniería para diseñar máquinas o estructuras idénticas.

Conclusión

La construcción de triángulos similares juega un papel vital no solo en geometría, sino también en diversos campos como la ingeniería, ciencia y artes. Entender cómo identificar y construir triángulos similares utilizando métodos como los criterios AA, LAL y LLL desarrolla habilidades geométricas fundamentales necesarias para resolver problemas del mundo real. Practicar estas construcciones utilizando herramientas simples aumenta la conciencia espacial y la precisión, mejorando así el viaje matemático de uno.


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