Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Ángulo subtendido por el arco


En geometría, los círculos siempre atraen nuestra atención por su perfecta simetría. Un concepto importante relacionado con los círculos es la idea del ángulo formado por un arco. Este tema combina bellamente ángulos, arcos y geometría.

Entendiendo los términos básicos

  • Círculo: Un conjunto de puntos en un plano que son equidistantes de un punto dado, llamado el centro.
  • Arco: Una porción o segmento de la circunferencia de un círculo.
  • Cuerda: Un segmento de línea cuyos puntos finales están en un círculo.
  • Ángulo central: El ángulo cuyo vértice es el centro del círculo.
  • Ángulo inscrito: Un ángulo cuyo vértice está en un círculo y cuyos lados son cuerdas de un círculo.

Ángulos centrales y arcos

Cuando hablamos del ángulo formado por un arco, el ángulo central es el concepto de inicio más simple. El ángulo central se forma entre dos radios de un círculo. La medida del ángulo está directamente relacionada con la longitud del arco entre dos puntos del círculo.

Considera el siguiente diagrama:

O B A θ

En el diagrama anterior, O es el centro del círculo, y el arco AB subtiende el ángulo central θ. Aquí, el ángulo θ es el ángulo subtendido por el arco en el centro del círculo.

Ángulos inscritos y arcos

A diferencia de un ángulo central, un ángulo inscrito se forma cuando el vértice del ángulo se encuentra en el mismo círculo. Los dos lados del ángulo son cuerdas del círculo.

Aquí hay un ejemplo visual:

O A B C φ

En el diagrama anterior, ∠ACB es el ángulo inscrito subtendido por el arco AB. Nota que el ángulo φ está fuera del arco.

Relación entre ángulos centrales e inscritos

Una propiedad interesante y fundamental en la geometría de los círculos es la relación entre un ángulo central y un ángulo inscrito que subtende el mismo arco:

Ángulo central = 2 × Ángulo inscrito

Demostremos este concepto con un ejemplo simple:

O A B θ 2θ

En el diagrama anterior, el ángulo central ∠AOB está etiquetado como 2θ. El ángulo inscrito ∠ACB está etiquetado como θ. Esto se alinea con la fórmula de la siguiente manera: Ángulo central = 2 × Ángulo inscrito.

Ejemplos prácticos y aplicaciones

Veamos ahora algunos ejemplos con números para reforzar este concepto:

Ejemplo 1

Imagina que el arco XY forma un ángulo central de 60°. ¿Cuál será el ángulo inscrito en el mismo arco?

Solución:

dado:
    Ángulo central = 60°
Ángulo inscrito = Ángulo central / 2 = 60° / 2 = 30°
El ángulo inscrito es 30°.

Ejemplo 2

El arco AB subtende un ángulo de 25°. ¿Cuál será el ángulo central subtendido en el mismo arco?

Solución:

dado:
    Ángulo inscrito = 25°
Ángulo central = 2 × Ángulo inscrito = 2 × 25° = 50°
El ángulo central es 50°.

Aplicación del concepto a problemas del mundo real

Las aplicaciones de esta teoría son muy amplias. Ayuda en teorías relacionadas con la óptica, platos satelitales e incluso en la explicación de conceptos astronómicos. Matemáticamente, esta relación es importante en el diseño de diversas estructuras circulares donde se requiere la medición del ángulo en una esquina particular.

Ejemplo 3

Estás probando un nuevo plato satelital y necesitas calcular la ubicación correcta del receptor. Supón que el arco forma un ángulo central de 120°. Para confirmar tu cálculo, observas el ángulo marcado en el borde, que debería estar en el arco incluido.

Solución:

dado:
    Ángulo central = 120°
Ángulo inscrito = Ángulo central / 2 = 120° / 2 = 60°
Tus cálculos son precisos, porque el ángulo inscrito calculado está alineado con los utilizados.
La medida requerida utilizada para ajustar un plato satelital.

Puntos clave

  • Los ángulos centrales son siempre el doble de los ángulos subtendidos en el mismo arco.
  • Entender el ángulo subtendido por un arco ayuda a resolver varios problemas geométricos que involucran círculos.
  • Estas propiedades se utilizan en demostraciones matemáticas y al resolver desafíos prácticos de ingeniería.

Conclusión

El ángulo subtendido por un arco dentro de un círculo resulta ser un área rica de exploración en geometría. Comprender esta relación no solo simplifica pruebas geométricas complejas, sino que también mejora nuestra capacidad de diseñar, analizar e implementar soluciones en escenarios prácticos de ingeniería. Al dominar estos conceptos, los estudiantes pueden construir una base sólida para estudios posteriores en temas de matemáticas avanzadas.


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