10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

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Número de tangentes a partir de um ponto


No mundo da geometria, os círculos são uma das formas mais bonitas e fascinantes. Círculos são definidos como uma coleção de pontos que estão equidistantes de um ponto fixo chamado centro. A tangente a um círculo é uma linha reta que toca o círculo em exatamente um ponto. Este ponto é conhecido como ponto de tangência. As tangentes são importantes de entender porque aparecem numa variedade de problemas geométricos e têm propriedades que podem ajudar a resolver cálculos complexos.

Introdução às tangentes

Antes de entrar no tópico principal sobre o número de tangentes a partir de um ponto, é necessário entender o que é realmente uma tangente. Uma tangente é uma linha que intercepta um círculo em apenas um ponto. Esta característica a distingue de uma linha secante, que intercepta um círculo em dois pontos.

Matematicamente, se você tem um círculo com centro (O) e uma linha tangente tocando o círculo no ponto (A), então (OA) é perpendicular à linha tangente no ponto (A). Esta relação dá origem a alguns teoremas importantes na geometria de círculos.

Relação entre tangente e raio

Um dos princípios mais básicos associados a tangentes e círculos é que a tangente é sempre perpendicular ao raio no ponto de tangência. Isso pode ser escrito como:

Se a linha ( PT ) é tangente a um círculo no ponto ( T ), então ( OT perp PT ).

Tipos de pontos relativos a um círculo

Ao discutir tangentes, é necessário classificar os tipos de pontos pertencentes ao círculo:

  1. Dentro do círculo: Quando um ponto está dentro do círculo, então é impossível desenhar uma tangente ao círculo a partir desse ponto.
  2. Sobre um círculo: Quando um ponto está sobre um círculo, há apenas uma tangente a ele, que é o próprio círculo.
  3. Fora do círculo: Se um ponto está fora do círculo, então você pode desenhar exatamente duas tangentes dele ao círculo. Essas tangentes são iguais em comprimento.

Número de tangentes de um ponto fora do círculo

O foco principal deste tópico é que quando um ponto está fora de um círculo, podem ser desenhadas duas tangentes. Para entender isso, considere um círculo com centro (O) e um ponto (P) fora do círculo.

A partir do ponto (P), as tangentes (PA) e (PB) podem ser desenhadas de forma que ambas toquem o círculo nos pontos (A) e (B) respectivamente. O importante é que esses pontos (A) e (B) são onde o círculo é tangente, e pela definição de tangentes, os ângulos que formam com os raios (OA) e (OB) são de 90 graus.

Propriedades das tangentes a um círculo a partir de um ponto

A seguir estão algumas das qualidades essenciais:

  1. O comprimento das tangentes desenhadas de um ponto externo a um círculo é igual. Portanto, (PA = PB).
  2. A tangente em qualquer ponto de um círculo é perpendicular ao raio através do ponto de contato.
  3. Se duas tangentes são desenhadas para um círculo a partir de um ponto externo, então: 
                ∠OPA = ∠OPB e ∠OAP = ∠OBP = 90°

Entendendo mais através de exemplos

Exemplo 1: Encontrando o comprimento de uma tangente

Suponha que o raio de um círculo com centro (O) seja de 5 unidades. Um ponto (P) fora do círculo está a 13 unidades de distância de (O). Calcule o comprimento de cada tangente de (P) ao círculo.

Para resolver isso, use o teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo ( triangle OAP ) onde ( OA = 5 ), ( OP = 13 ) e ( PA ) é a tangente:

OP² = OA² + PA²
13² = 5² + PA²
169 = 25 + PA²
PA² = 144
PA = √144 = 12

Portanto, o comprimento das tangentes (PA) e (PB) é de 12 unidades cada.

Exemplo 2: Entendendo tangentes

Um círculo tem seu centro em (O) e um ponto (P) está fora do círculo de forma que as distâncias são (OA = 10) e (OP = 15). Se PA e PB são ambos tangentes, como você classificará os pontos A e B? Verifique o comprimento das tangentes.

Por outro lado, use novamente o teorema de Pitágoras:

OP² = OA² + PA²
15² = 10² + PA²
225 = 100 + PA²
PA² = 125
PA = √125

Portanto, (PA approx 11,18 ) unidades, o que confirma que (PA = PB) e (A) e (B) são pontos de tangência ao círculo.

Aplicações reais de tangentes

Tangentes são usadas não apenas em matemática teórica, mas também em situações do mundo real:

  • Navegação: Navios e aeronaves usam tangentes em sistemas de navegação para se manterem no curso.
  • Arquitetura: Linhas tangenciais são usadas no design de cúpulas e arcos.
  • Engenharia mecânica: Princípios de tangente são frequentemente usados em acoplamentos de engrenagens e alinhamento de rodas.

Conclusão

Tangentes a um círculo são importantes para entender a geometria circular e resolver problemas geométricos. A partir de um único ponto externo, exatamente duas tangentes podem ser desenhadas para um círculo, e os comprimentos dessas tangentes são iguais. Esta propriedade é inestimável tanto em explorações teóricas quanto em aplicações práticas, tornando-a um conceito essencial em matemática. Compreender profundamente tangentes melhora as habilidades de resolução de problemas e fornece insights sobre a beleza e as aplicações da geometria.


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