Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Número de tangentes desde un punto


En el mundo de la geometría, los círculos son una de las formas más bellas y fascinantes. Los círculos se definen como una colección de puntos que están equidistantes de un punto fijo llamado centro. La tangente a un círculo es una línea recta que toca el círculo en exactamente un punto. Este punto se conoce como el punto de tangencia. Las tangentes son importantes de entender porque aparecen en una variedad de problemas geométricos y tienen propiedades que pueden ayudar a resolver cálculos complejos.

Introducción a las tangentes

Antes de adentrarse en el tema principal del número de tangentes desde un punto, es necesario entender qué es realmente una tangente. Una tangente es una línea que intersecta un círculo en un solo punto. Esta característica la distingue de una línea secante, que intersecta un círculo en dos puntos.

Matemáticamente, si tienes un círculo con centro (O) y una línea tangente tocando el círculo en el punto (A), entonces (OA) es perpendicular a la línea tangente en el punto (A). Esta relación da lugar a algunos teoremas importantes en la geometría del círculo.

Relación entre la tangente y el radio

Uno de los principios más básicos asociados con las tangentes y los círculos es que la tangente siempre es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Esto se puede escribir como:

Si la línea ( PT ) es tangente a un círculo en el punto ( T ), entonces ( OT perp PT ).
Hey Tea

Tipos de puntos relativos a un círculo

Al discutir tangentes, es necesario clasificar los tipos de puntos que pertenecen al círculo:

  1. Dentro del círculo: Cuando un punto se encuentra dentro del círculo, es imposible dibujar una tangente al círculo desde ese punto.
  2. En el círculo: Cuando un punto se encuentra en el círculo, solo hay una tangente a él, que es el propio círculo.
  3. Fuera del círculo: Si un punto está fuera del círculo, entonces se pueden dibujar exactamente dos tangentes desde él al círculo. Estas tangentes son iguales en longitud.

Número de tangentes desde un punto fuera del círculo

El enfoque principal de este tema es que cuando un punto se encuentra fuera de un círculo, se pueden dibujar dos tangentes. Para entender esto, considera un círculo con centro (O) y un punto (P) fuera del círculo.

Hey P B A

Desde el punto (P), se pueden dibujar las tangentes (PA) y (PB) de manera que ambas toquen el círculo en los puntos (A) y (B) respectivamente. Lo importante es que estos puntos (A) y (B) son donde el círculo es tangente, y por definición de tangentes, los ángulos que forman con los radios (OA) y (OB) son de 90 grados.

Propiedades de las tangentes a un círculo desde un punto

Las siguientes son algunas de las cualidades esenciales:

  1. La longitud de las tangentes dibujadas desde un punto externo a un círculo es igual. Por lo tanto, (PA = PB).
  2. La tangente en cualquier punto de un círculo es perpendicular al radio a través del punto de contacto.
  3. Si se dibujan dos tangentes a un círculo desde un punto externo, entonces: 
                ∠OPA = ∠OPB y ∠OAP = ∠OBP = 90°

Entendiendo más a través de ejemplos

Ejemplo 1: Encontrar la longitud de una tangente

Supongamos que el radio de un círculo con centro (O) es de 5 unidades. Un punto (P) fuera del círculo está a 13 unidades de (O). Calcula la longitud de cada tangente desde (P) al círculo.

Para resolver esto, utiliza el teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo ( triangle OAP ) donde ( OA = 5 ), ( OP = 13 ) y ( PA ) es la tangente:

OP² = OA² + PA²
13² = 5² + PA²
169 = 25 + PA²
PA² = 144
PA = √144 = 12

Por lo tanto, la longitud de las tangentes (PA) y (PB) es de 12 unidades cada una.

Ejemplo 2: Entendiendo las tangentes

Un círculo tiene su centro en (O) y un punto (P) se encuentra fuera del círculo de tal manera que las distancias son (OA = 10) y (OP = 15). Si PA y PB son ambas tangentes, ¿cómo clasificarías los puntos A y B? Verifica la longitud de las tangentes.

Por otro lado, utiliza nuevamente el teorema de Pitágoras:

OP² = OA² + PA²
15² = 10² + PA²
225 = 100 + PA²
PA² = 125
PA = √125

Por lo tanto, (PA approx 11.18 ) unidades, lo que confirma que (PA = PB) y (A) y (B) son puntos de tangencia al círculo.

Aplicaciones reales de las tangentes

Las tangentes se utilizan no solo en matemáticas teóricas sino también en situaciones del mundo real:

  • Navegación: Los barcos y aviones utilizan tangentes en los sistemas de navegación para mantenerse en su curso.
  • Arquitectura: Las líneas tangenciales se utilizan en el diseño de cúpulas y arcos.
  • Ingeniería mecánica: Los principios de la tangente se utilizan a menudo en los acoplamientos de engranajes y la alineación de ruedas.

Conclusión

Las tangentes a un círculo son importantes para entender la geometría circular y resolver problemas geométricos. Desde un solo punto externo, se pueden dibujar exactamente dos tangentes a un círculo, y las longitudes de estas tangentes son iguales. Esta propiedad es invaluable tanto en exploraciones teóricas como en aplicaciones prácticas, lo que la convierte en un concepto esencial en matemáticas. Comprender profundamente las tangentes mejora las habilidades de resolución de problemas y proporciona una visión de la belleza y aplicaciones de la geometría.


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