Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Tangente a un círculo


Al estudiar círculos en geometría, un concepto muy importante es la “tangente a un círculo”. Este concepto juega un papel vital, no solo en la geometría sino también en varias aplicaciones de la vida real, desde la ingeniería y la física hasta la resolución de problemas cotidianos. En términos simples, una tangente a un círculo es una línea que toca el círculo en exactamente un punto. Este punto se llama el punto de tangencia. A diferencia de una línea secante, que intersecta el círculo en dos puntos diferentes, una tangente apenas lo toca.

Entendiendo los círculos

Antes de profundizar en el concepto de tangente, primero refresquemos nuestra comprensión de los círculos. Un círculo se define como el conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia fija, llamada radio, de un punto fijo llamado centro. El límite de un círculo es circular y tiene 360 grados alrededor del centro.

Palabras básicas de círculos

  • Centro: El punto fijo desde el cual se extiende el radio.
  • Radio: La distancia constante desde el centro del círculo hasta cualquier punto.
  • Diámetro: Una línea recta que pasa por el centro de un círculo y que es el doble de la longitud del radio.
  • Circunferencia: La distancia total alrededor del círculo.

¿Qué es una tangente?

En geometría, una tangente es una línea recta que toca una curva en un solo punto sin cortarla. Este punto de contacto se conoce como el "punto de tangencia". En el contexto de un círculo, la propiedad definitoria de una tangente es que intersecta el círculo en exactamente un punto.

Definición de línea tangente:
La tangente a un círculo es una línea en el plano del círculo que intersecta el círculo en exactamente un punto.

Ejemplo visual

línea tangente Punto de Contacto radio

En el ejemplo visual anterior, un círculo está centrado en un punto, y la línea azul representa la línea tangente que toca el círculo en un punto marcado en rojo. Este punto rojo es conocido como el punto de tangencia.

Propiedades de la línea tangente a un círculo

Entender las propiedades de la tangente a un círculo es muy importante para resolver problemas de geometría. Aquí están las propiedades básicas:

Primera propiedad: perpendicular al punto de contacto

La propiedad más importante de una tangente a un círculo es que es perpendicular al radio trazado en el punto de tangencia. Esto se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera:

Si 'O' es el centro del círculo y 'T' es el punto de contacto, entonces el radio OT es perpendicular a la tangente.

Ejemplo visual: tangente perpendicular

radio línea tangente

En este diagrama, observe cómo el radio (línea gris) y la tangente (línea azul) se intersectan en un ángulo de 90 grados, demostrando la propiedad perpendicular.

Segunda propiedad: tangente única en cada punto

Otra propiedad de las tangentes es que en cualquier punto dado en un círculo, solo hay una línea tangente al círculo. Esto significa que no se pueden dibujar dos líneas tangentes diferentes que toquen el círculo en el mismo punto.

Problema de ejemplo: encontrar la ecuación de una línea tangente

Veamos cómo encontrar la ecuación de una tangente a un círculo a través de un problema de ejemplo. Supongamos que tenemos un círculo con centro en (3, 4) y radio 5. Necesitamos encontrar la tangente al círculo en el punto (3, 9). Primero, confirmemos que este punto se encuentra en el círculo.

Ecuación de un círculo:
  (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 5^2
  Sustituir el punto (3, 9):
  (3 - 3)^2 + (9 - 4)^2 = 25
  0 + 25 = 25

El punto se encuentra en el círculo. Por lo tanto, la pendiente del radio OT será 0 (ya que las coordenadas x son las mismas). Una línea perpendicular a esta pendiente será una línea vertical que pasa por (3, 9). Así, la ecuación de la línea tangente es:

Ecuación de la línea tangente: x = 3

Teorema del salto de tangente

Aparte de las propiedades básicas, las tangentes también obedecen algunos teoremas avanzados. Uno de estos es el teorema tangente-secante, que establece que si una tangente y una secante (o cuerda) se dibujan desde un punto externo común, entonces el cuadrado de la longitud del segmento tangente es igual al producto de la longitud del segmento secante completo y su parte externa.

Aplicaciones prácticas de las tangentes

Las tangentes son más que curiosidades matemáticas. Tienen aplicaciones prácticas en ingeniería, gráficos por computadora, física y muchos otros campos. Por ejemplo, al diseñar carreteras o caminos que necesitan hacer una transición suave de una línea recta a una curva, se utilizan tangentes para asegurar que la transición sea suave y gradual.

Dibujo de tangentes usando herramientas de geometría

Para dibujar físicamente una tangente a un círculo con un compás y una línea recta, siga estos pasos:

  1. Dibuja un círculo con el radio especificado usando un compás.
  2. Identifica o especifica el punto de contacto con el círculo.
  3. Arrastra el radio hasta ese punto.
  4. Construye una línea perpendicular al radio en el punto de contacto usando una regla, formando la tangente.

Este ejercicio no solo fortalece la comprensión sino que también mejora la capacidad de visualizar conceptos geométricos.

Resumen

Las tangentes a los círculos son un concepto fundamental que intersecta tanto las matemáticas puras como las aplicaciones del mundo real. Entender sus propiedades, como la perpendicularidad en el punto de tangencia y la unicidad de la línea tangente en un punto determinado, es importante. La utilidad práctica de las tangentes hace de este concepto una parte invaluable de la geometría y sus aplicaciones.


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