Класс 10
  1. Системы чисел  1.1. Действительные числа  1.1.1. Свойства вещественных чисел  1.1.2. Рациональные и иррациональные числа  1.1.3. Десятичное представление вещественных чисел  1.1.4. Операции с действительными числами  1.1.5. Действительные числа на числовой прямой  1.2. Лемма Евклида о делении  1.3. Разложение на простые множители  1.4. Понимание НОК и НОД в числовых системах  1.5. Показатели степени и корни  1.5.1. Законы степеней  1.5.2. Упрощение базовых выражений  1.5.3. Научная нотация
  2. Понимание алгебры  2.1. Многочлены  2.1.1. Определение и виды многочленов  2.1.2. Степень многочлена  2.1.3. Нули многочлена  2.1.4. Факторизация многочленов  2.1.5. Алгебраические тождества  2.2. Линейные уравнения с двумя переменными  2.2.1. Графики линейных уравнений  2.2.2. Решения линейных уравнений  2.2.3. Применение линейных уравнений в текстовых задачах  2.3. Понимание квадратных уравнений  2.3.1. Стандартная форма квадратного уравнения  2.3.2. Методы решения квадратных уравнений  2.3.2.1. Метод разложения на множители  2.3.2.2. Метод завершения квадрата  2.3.2.3. Квадратная формула  2.3.3. Понимание природы корней в квадратных уравнениях  2.4. Понимание арифметических прогрессий  2.4.1. Определение арифметической прогрессии  2.4.2. Общий член арифметической прогрессии (АП)  2.4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии  2.5. Введение в функции  2.5.1. Определение и виды функций  2.5.2. Область определения и область значений  2.5.3. Структура работ  2.5.4. Обратная функция
  3. Координатная геометрия  3.1. Введение в декартову систему в координатной геометрии  3.2. Формула расстояния  3.3. Формула отрезка  3.4. Площадь треугольника  3.5. Наклон линии  3.6. Уравнение прямой в координатной геометрии  3.6.1. Форма уравнения прямой с угловым коэффициентом  3.6.2. Введение в уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту  3.6.3. Форма с двумя точками  3.6.4. Перехватная форма  3.6.5. Общая форма линии
  4. Тригонометрия  4.1. Тригонометрические отношения  4.1.1. Синус, косинус, тангенс и их обратные функции  4.1.2. Понимание значений тригонометрических отношений при определенных углах  4.2. Тригонометрические тождества  4.3. Тригонометрические отношения дополнительного угла  4.4. Высоты и расстояния  4.4.1. Понимание углов возвышения и снижения  4.4.2. Применение в реальных задачах
  5. Геометрия  5.1. Треугольник  5.1.1. Соответствие треугольников  5.1.2. Критерии соответствия  5.1.3. Свойства треугольников  5.2. Понимание подобия в геометрии  5.2.1. Понимание подобных фигур в геометрии  5.2.2. Критерии подобия  5.2.3. Сходство треугольников  5.2.4. Применение параллелизма в реальной жизни  5.3. Понимание окружностей в геометрии  5.3.1. Свойства окружности  5.3.2. Касательная к окружности  5.3.3. Количество касательных из точки  5.3.4. Угол, подстилаемый дугой  5.4. Построения в геометрии  5.4.1. Построение подобных треугольников  5.4.2. Касательная к окружности  5.4.3. Построение биссектрисы угла
  6. Измерение  6.1. Площадь плоских фигур  6.1.1. Площадь треугольника  6.1.2. Понимание площади параллелограмма  6.1.3. Площадь трапеции  6.1.4. Понимание площади ромба  6.2. Площадь поверхности и объем  6.2.1. Площадь поверхности куба, параллелепипеда и цилиндра  6.2.2. Площадь поверхности конуса и сферы  6.2.3. Объем куба, параллелепипеда и цилиндра  6.2.4. Объем конуса и сферы  6.3. Преобразование единиц  6.4. Усеченный конус
  7. Фигуры  7.1. Введение в статистику  7.2. Сбор данных  7.3. Представление данных  7.3.1. Табличная форма  7.3.2. Графическая форма  7.3.2.1. Столбчатая диаграмма  7.3.2.2. Гистограмма: инструмент для графического представления в статистике  7.3.2.3. Полигон частот  7.3.2.4. Огива  7.4. Меры центральной тенденции  7.4.1. Среднее, медиана и мода  7.4.2. Понимание квартилей и процентилей  7.5. Меры изменения  7.5.1. Диапазон и межквартильный размах  7.5.2. Стандартное отклонение и дисперсия
  8. Возможность  8.1. Введение в теорию вероятностей  8.2. Экспериментальная вероятность  8.3. Теоретическая вероятность  8.4. Вероятность простых событий  8.5. Дополнительные программы  8.6. Вероятность смешанных событий

Класс 10 → Геометрия → Понимание окружностей в геометрии ↓


Свойства окружности


Окружность — это фундаментальная геометрическая фигура, определяемая как множество всех точек в плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой центром. Свойства окружности важны для понимания её поведения, измерения и взаимосвязей. Давайте подробно изучим различные свойства окружности.

Основные компоненты окружности

Перед изучением свойств, важно понять основные компоненты окружности:

  • Центр: Центр — это фиксированная точка, вокруг которой описывается окружность. Обычно обозначается как C
  • Радиус: Радиус окружности — это любой отрезок от ее центра до окружности. Обычно обозначается как r.
  • Диаметр: Диаметр — это отрезок, проходящий через центр и имеющий конец на окружности. Это самая длинная дистанция через окружность и она в два раза больше радиуса: d = 2r.
  • Периметр: Длина окружности — это периметр или граница окружности. Она рассчитывается по формуле: C = 2πr.
  • Площадь: Площадь, содержащаяся внутри окружности, дается формулой: A = πr².

Основные свойства окружности

Теперь, когда мы понимаем основные компоненты, давайте рассмотрим основные свойства окружности:

Совершенная симметрия окружности

Окружность — это совершенно симметричная фигура. Эта симметрия означает, что каждая точка на крае окружности находится на одинаковом расстоянии от центра. Это свойство позволяет окружности иметь бесконечное количество линий симметрии, так как любой диаметр делит окружность на две равные половины.

Описанная и вписанная окружности

Окружность может быть как описанной, так и вписанной. Описанная окружность проходит через все вершины многоугольника. В отличие от нее, вписанная окружность находится внутри многоугольника и касается каждой его стороны.

Углы в окружности

Центральный угол — это угол, у которого вершина находится в центре окружности. Он может быть связан с длиной дуги — частью окружности окружности. Вся окружность образует полный угол в 360 градусов.

Пример угла

Рассмотрим окружность с центром в точке C. Если точка A и другая точка B на окружности создают угол в C, то этот угол — это центральный угол. Если дуга от A к B проходит по окружности и составляет 180 градусов, то центральный угол в C также составляет 180 градусов.

Визуальный пример

Основная структура окружности

R D C

На рисунке выше показана окружность с центром в C. Красная линия — это диаметр d, а синяя линия — это радиус r.

Периметр и площадь

C(длина окружности) a = πr²

На диаграмме выше зеленая линия представляет длину окружности C. Площадь внутри окружности дается A = πr².

Специальные теоремы, связанные с окружностями

Теорема о вписанном угле

Теорема о вписанном угле гласит, что вписанный угол в окружности равен половине центрального угла, который образует — или поддерживает — ту же дугу. Это означает, что если у вас есть вписанный угол и вы знаете, какую дугу он поддерживает, то вы знаете, что центральный угол, образующий эту дугу, в два раза больше вписанного угла.

Пример теоремы о вписанном угле

Предположим, что у вас есть окружность с углом ∠ABC и дугой AC. Если центральный угол ∠AOC образует ту же дугу, то величина угла ∠AOC в два раза больше величины угла ∠ABC.

Свойства касательной и секущей

Касательная - это линия, касающаяся окружности в одной точке. Секущая - это линия, пересекающая окружность в двух точках. Свойства, связанные с касательными и секущими, включают:

  • Теорема о касательной и секущей: Если касательная и секущая проведены из точки за пределами окружности, то квадрат длины касательной равен произведению длины внешней части секущей и полной длины.
  • Угол между касательными: Угол между двумя касательными, проведенными из внешней точки, равен половине разницы величин перехваченных дуг.

Более сложные примеры

Чтобы глубже понять свойства окружностей, рассмотрите следующие примеры, иллюстрирующие эти концепции.

Пример 1: Расчет измерения окружности

Дана окружность с радиусом r = 5 единиц:
- Диаметр: d = 2r = 10 единиц
- Длина окружности: C = 2πr ≈ 31.42 единиц
- Площадь: A = πr² ≈ 78.54 квадратных единиц

Пример 2: Измерение угла

Окружность имеет дугу в 120 градусов. Вписанный угол ∠ABC, образующий эту дугу, равен половине угла дуги, то есть 60 градусов.

Пример 3: Теорема о касательной и секущей

Из точки P за пределами окружности, касательная PT измеряется 8 единиц, а секущая PQ пересекает окружность так, что PQ = 12 и QR = 4. Согласно теореме о касательной и секущей:
PT² = PQ * PR
8² = 12 * (12 + 4)
64 = 12 * 16

Заключение

Свойства окружности предоставляют интересную информацию об этой фундаментальной геометрической форме. Осознание этих свойств не только улучшает навыки решения задач, но и углубляет понимание геометрии. Окружности лежат в основе многих концепций и приложений в математике, инженерии и науке.


Класс 10 → 5.3.1


U
username
0%
завершено в Класс 10

← предыдущая (5.3)
Понимание окружностей в геометрии
следующая (5.3.2) →
Касательная к окружности

комментарии 



Свойства окружности

https://www.buddymath.com/g10/5.3.1?bmal=ru