Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Propiedades del círculo


Un círculo es una figura geométrica fundamental que se define como el conjunto de todos los puntos en un plano que están equidistantes de un punto dado, llamado el centro. Las propiedades de un círculo son esenciales para comprender su comportamiento, medición y relaciones. Exploremos las diversas propiedades de un círculo en detalle.

Componentes básicos de un círculo

Antes de profundizar en las propiedades, es importante entender los componentes básicos de un círculo:

  • Centro: El centro es el punto fijo alrededor del cual se traza el círculo. Usualmente se denota por C
  • Radio: El radio de un círculo es cualquier segmento de línea desde su centro hasta la circunferencia. Usualmente se denota por r.
  • Diámetro: El diámetro es un segmento de línea que pasa por el centro y tiene un punto final en el círculo. Es la distancia más larga a través del círculo y es dos veces el radio: d = 2r.
  • Perímetro: La circunferencia es el perímetro o límite de un círculo. Se calcula usando la fórmula: C = 2πr.
  • Área: El espacio contenido dentro de un círculo es su área, dada por la fórmula: A = πr².

Propiedades esenciales de un círculo

Ahora que entendemos los componentes básicos, observemos las propiedades esenciales de un círculo:

Simetría perfecta de un círculo

El círculo es una figura perfectamente simétrica. Esta simetría significa que cada punto en el borde del círculo está a la misma distancia del centro. Esta propiedad permite que el círculo tenga infinitas líneas de simetría, ya que cualquier diámetro divide el círculo en dos mitades iguales.

Círculos circunscritos e inscritos

Un círculo puede ser tanto circunscrito como inscrito. Un círculo circunscrito es aquel que pasa por todos los vértices de un polígono. En contraste, un círculo inscrito es aquel que se encuentra dentro de un polígono y toca cada lado.

Ángulos en un círculo

El ángulo central es el ángulo cuyo vértice es el centro del círculo. Puede estar asociado con la longitud del arco, que es parte de la circunferencia del círculo. El círculo completo forma un ángulo total de 360 grados.

Ejemplo de un ángulo

Considere un círculo con centro en C. Si un punto A y otro punto B en el círculo subtenden un ángulo en C, entonces este ángulo es el ángulo central. Si el arco de A a B rodea el círculo y cubre 180 grados, entonces el ángulo central en C también es de 180 grados.

Ejemplo visual

La estructura básica del círculo

R D C

La figura anterior muestra un círculo con centro C. La línea roja es el diámetro d, y la línea azul es el radio r.

Perímetro y área

C(circunferencia) a = πr²

En el diagrama anterior, la línea verde representa la circunferencia C del círculo. El área dentro del círculo está dada por A = πr².

Teoremas especiales relacionados con círculos

Teorema del ángulo inscrito

El teorema del ángulo inscrito establece que el ángulo inscrito en un círculo es la mitad de la medida del ángulo central que forma - o sostiene - el mismo arco. Esto significa que si tienes un ángulo inscrito y sabes qué arco está "sosteniendo", entonces sabes que el ángulo central que forma este arco es el doble del ángulo inscrito.

Ejemplo del teorema del ángulo inscrito

Supongamos que tienes un círculo con un ángulo de ∠ABC y un arco AC. Si el ángulo central ∠AOC forma el mismo arco, entonces la medida de ∠AOC es el doble de la medida de ∠ABC.

Propiedades de la tangente y la secante

Una tangente es una línea que toca un círculo en exactamente un punto. Una secante es una línea que interseca un círculo en dos puntos. Las propiedades asociadas con tangentes y secantes incluyen:

  • Teorema de la tangente-secante: Si se traza una línea tangente y una línea secante desde un punto fuera de un círculo, entonces el cuadrado de la longitud del segmento tangente es igual al producto de la longitud de la parte externa del segmento secante y la longitud total.
  • Ángulo entre tangentes: El ángulo entre dos tangentes trazadas desde un punto externo es la mitad de la diferencia en la medida de los arcos interceptados.

Ejemplos más avanzados

Para comprender mejor las propiedades de los círculos, considere los siguientes ejemplos que ilustran estos conceptos.

Ejemplo 1: Cálculo de la medida del círculo

Se da un círculo con radio r = 5 unidades:
- Diámetro: d = 2r = 10 unidades
- Circunferencia: C = 2πr ≈ 31.42 unidades
- Área: A = πr² ≈ 78.54 unidades cuadradas

Ejemplo 2: Medición de ángulos

Un círculo tiene un arco de 120 grados. Un ángulo inscrito ∠ABC que forma este arco mide la mitad del ángulo del arco, es decir, 60 grados.

Ejemplo 3: Teorema del salto de tangente

Desde un punto P fuera de un círculo, una tangente PT mide 8 unidades, y una secante PQ corta el círculo tal que PQ = 12 y QR = 4 De acuerdo con el teorema del borde de la tangente:
PT² = PQ * PR
8² = 12 * (12 + 4)
64 = 12 * 16

Conclusión

Las propiedades de un círculo proporcionan información interesante acerca de esta forma geométrica fundamental. Reconocer estas propiedades no solo mejora las habilidades de resolución de problemas, sino que también profundiza la comprensión de la geometría. Los círculos forman la base de muchos conceptos y aplicaciones en matemáticas, ingeniería y ciencia.


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