10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

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Aplicações do paralelismo na vida real


Na geometria, similaridade significa quando duas figuras são semelhantes em forma, mas possivelmente diferentes em tamanho. Duas figuras geométricas são semelhantes se seus ângulos correspondentes são iguais e seus lados correspondentes são proporcionais. Este conceito fundamental pode ser aplicado para resolver muitos problemas no cotidiano. Entender como a similaridade funciona na geometria pode nos ajudar a criar modelos em escala, usar mapas ou até mesmo entender padrões na natureza.

Compreendendo a igualdade através de exemplos

Considere dois triângulos. Se todos os ângulos do primeiro triângulo são iguais aos ângulos correspondentes do segundo triângulo, então os dois triângulos são semelhantes. Vamos dar uma olhada mais de perto com um diagrama:

Aqui, dois triângulos têm a mesma forma, mas tamanhos diferentes. Eles são semelhantes porque seus ângulos correspondentes são iguais. Medindo, você pode ver que os ângulos nos vértices são iguais. Os lados também estão em proporção, o que forma a base de sua similaridade.

Leis da igualdade

Antes de examinarmos exemplos da vida real, vamos dar uma olhada novamente nas regras que ditam a similaridade na geometria. Essas regras podem ajudar a identificar formas semelhantes:

  • Ângulo-Ângulo (AA): Se dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.
  • Lado-Ângulo-Lado (SAS): Se um ângulo de um triângulo é igual a um ângulo de outro triângulo e os lados que contêm esses ângulos estão em proporção, então os triângulos são semelhantes.
  • Lado-Lado-Lado (SSS): Se os lados de dois triângulos estão em proporção, então os triângulos são semelhantes.

Modelos em escala

Uma das aplicações mais comuns de semelhança na vida real é a criação de modelos em escala. Estes são versões em miniatura de objetos maiores como carros, aviões ou até mesmo edifícios. Arquitetos e engenheiros usam semelhanças para criar modelos em proporção às estruturas reais.

Por exemplo, ao projetar um novo arranha-céu, os arquitetos trabalham em modelos em escala que podem ser tão pequenos quanto 1/1000 do tamanho original, mas mantêm as mesmas proporções. Isso ajuda a visualizar a estrutura final e é possível graças aos princípios de similaridade.

Suponha que a altura real do arranha-céu seja 200 m.
Um modelo em escala é desenvolvido com uma proporção de 1:1000.

Assim, a altura do modelo = 200 m ÷ 1000 = 0,2 m ou 20 cm.

Mapas e navegação

Mapas são outra área onde a proporcionalidade é amplamente utilizada. Um mapa é uma representação reduzida de uma área, mantida à escala. Por exemplo, em um mapa, uma distância de 1 cm pode representar 1 km na realidade. Isso é possível porque os mapas usam uma escala para garantir que todas as características sejam representadas proporcionalmente.

Distância real entre duas cidades = 150 km
Escala do mapa = 1 cm : 50 km

Assim, distância no mapa = 150 km ÷ 50 km/cm = 3 cm

Fotografia

Na fotografia, especialmente na fotografia de retratos e arquitetura, o conceito de proporcionalidade ajuda os fotógrafos a manter as proporções dos objetos corretas. Usar o recurso de zoom amplia a imagem, mas mantém a mesma geometria, preservando as proporções corretas.

Arte e design

Artistas e designers frequentemente usam semelhança para criar trabalhos visualmente atraentes. Ao recriar obras de arte ou projetar itens complementares, as proporções precisam estar corretamente alinhadas. Por exemplo, um design de logotipo pode aparecer em diferentes tamanhos de mídia, mas sua aparência básica deve permanecer intacta através da semelhança.

No exemplo acima, o retângulo amarelo pode ser visto como parte de um design de pôster, e o retângulo laranja pode ser o mesmo design em um outdoor. Ambos são semelhantes porque a proporção entre largura e altura permanece constante, criando uma aparência uniforme.

Compreendendo os padrões da natureza

Na natureza, frequentemente vemos semelhanças em padrões, como as espirais das conchas, a simetria das folhas e até nas flores. Esses padrões seguem similaridades geométricas. Por exemplo, a concha do náutilo possui câmaras que crescem de tamanho enquanto mantêm a mesma forma. Esse fenômeno natural pode ser visto frequentemente na sequência de Fibonacci e nas estruturas da razão áurea.

O uso do paralelismo na construção

Na construção, engenheiros e construtores usam similaridade para várias aplicações, como projetar telhados, pontes ou rampas, onde manter ângulos é importante. Triângulos semelhantes garantem que as estruturas permaneçam seguras e funcionais, mantendo o equilíbrio proporcional necessário para suportar.

Problemas de exemplo

Aqui estão alguns problemas típicos que demonstram como o paralelismo pode ser aplicado em situações práticas:

Exemplo 1: Medição de sombras

Você pode usar a igualdade para determinar a altura de um objeto usando sua sombra. Considere uma situação onde você precisa encontrar a altura de uma árvore:

  1. Onde há luz solar, meça a sombra da árvore ficando em pé com uma vara de um metro de comprimento.
  2. Suponha que a sombra da árvore seja de 9 metros, e a sombra da vara seja de 1,5 metros.
Altura da vara / Comprimento da sombra da vara = Altura da árvore / Comprimento da sombra da árvore
1 m / 1,5 m = altura da árvore / 9 m

Ao resolver isso, a altura da árvore = 6 m

Exemplo 2: Construção de uma rampa

Uma rampa deve ser construída 1,5 m acima do nível do solo para dar acesso à porta para uma cadeira de rodas. De acordo com os códigos de construção, a inclinação não deve exceder uma proporção de 1:15.

Elevação vertical (altura da porta) = 1,5 m
Inclinação máxima = profundidade da base da rampa / elevação vertical  1,5 m * 15 = 22,5 m

Conclusão

Compreender as similaridades na geometria nos dá o conhecimento necessário para resolver problemas do mundo real. Ele fornece clareza na criação de escala, proporção e na manutenção de designs consistentes em uma variedade de campos, incluindo arte, arquitetura, natureza e engenharia. Reconhecer e aplicar esses princípios pode melhorar muito nossa compreensão espacial e abrir a porta para muitas oportunidades de resolução de problemas.


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Aplicações do paralelismo na vida real

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