Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Aplicaciones del paralelismo en la vida real


En geometría, la similitud significa cuando dos figuras son similares en forma pero posiblemente diferentes en tamaño. Dos figuras geométricas son similares si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. Este concepto fundamental se puede aplicar para resolver muchos problemas en la vida cotidiana. Entender cómo funciona la similitud en geometría puede ayudarnos a crear modelos a escala, usar mapas o incluso entender patrones en la naturaleza.

Entender la igualdad a través de ejemplos

Considere dos triángulos. Si todos los ángulos del primer triángulo son iguales a los ángulos correspondientes del segundo triángulo, entonces los dos triángulos son similares. Veamos esto más de cerca con un diagrama:

Aquí, dos triángulos tienen la misma forma pero diferentes tamaños. Son similares porque sus ángulos correspondientes son iguales. Al medir, puede ver que los ángulos en los vértices son iguales. Los lados también están en proporción, lo que forma la base de su similitud.

Leyes de la igualdad

Antes de ver ejemplos de la vida real, echemos un vistazo de nuevo a las reglas que dictan la similitud en geometría. Estas reglas pueden ayudar a identificar formas similares:

  • Ángulo-Ángulo (AA): Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son similares.
  • Lado-Ángulo-Lado (SAS): Si un ángulo de un triángulo es igual a un ángulo de otro triángulo y los lados que contienen estos ángulos están en proporción, entonces los triángulos son similares.
  • Lado-Lado-Lado (SSS): Si los lados de dos triángulos están en proporción, entonces los triángulos son similares.

Modelos a escala

Una de las aplicaciones más comunes de la semejanza en la vida real es la creación de modelos a escala. Estos son versiones en miniatura de objetos más grandes como coches, aviones o incluso edificios. Los arquitectos e ingenieros utilizan semejanzas para crear modelos en proporción a las estructuras reales.

Por ejemplo, al diseñar un nuevo rascacielos, los arquitectos trabajan en modelos a escala que pueden ser tan pequeños como 1/1000 del tamaño original pero mantienen las mismas proporciones. Esto ayuda a visualizar la estructura final y es posible gracias a los principios de la similitud.

Supongamos que la altura real del rascacielos es de 200 m.
Se diseña un modelo a escala con una proporción de 1:1000.

Así, la altura del modelo = 200 m ÷ 1000 = 0.2 m o 20 cm.

Mapas y navegación

Los mapas son otro área donde se usa ampliamente la proporcionalidad. Un mapa es una representación reducida de un área, mantenida a escala. Por ejemplo, en un mapa, una distancia de 1 cm puede representar 1 km en la realidad. Esto es posible porque los mapas utilizan una escala para asegurar que todas las características se representen proporcionalmente.

Distancia real entre dos ciudades = 150 km
Escala del mapa = 1 cm : 50 km

Así, distancia en el mapa = 150 km ÷ 50 km/cm = 3 cm

Fotografía

En la fotografía, especialmente la fotografía de retratos y arquitectónica, el concepto de proporcionalidad ayuda a los fotógrafos a mantener las proporciones de los objetos correctas. El uso de la función de zoom agranda la imagen pero mantiene la misma geometría, preservando las proporciones correctas.

Arte y diseño

Los artistas y diseñadores suelen utilizar la semejanza para crear trabajos visualmente atractivos. Al recrear obras de arte o diseñar elementos complementarios, las proporciones deben alinearse correctamente. Por ejemplo, el diseño de un logotipo puede aparecer en diferentes tamaños de medios, pero su aspecto básico debe permanecer intacto a través de la semejanza.

En el ejemplo anterior, el rectángulo amarillo puede verse como parte de un diseño de cartel, y el rectángulo naranja puede ser el mismo diseño en una cartelera. Ambos son similares porque su proporción de ancho a alto se mantiene constante, creando un aspecto uniforme.

Comprendiendo los patrones de la naturaleza

En la naturaleza, a menudo vemos semejanzas en patrones, como las espirales de las conchas, la simetría de las hojas e incluso en las flores. Estos patrones siguen similitudes geométricas. Por ejemplo, la concha del nautilus tiene cámaras que crecen en tamaño mientras mantienen su misma forma. Este fenómeno natural se puede ver a menudo en la secuencia de Fibonacci y las estructuras de proporción áurea.

El uso del paralelismo en la construcción

En la construcción, los ingenieros y constructores utilizan la similitud para una variedad de aplicaciones, como diseñar techos, puentes o rampas, donde mantener los ángulos es importante. Los triángulos similares aseguran que las estructuras permanezcan seguras y funcionales, al tiempo que mantienen el equilibrio proporcional necesario para sostener.

Problemas de ejemplo

Aquí hay algunos problemas típicos que demuestran cómo se puede aplicar el paralelismo en situaciones prácticas:

Ejemplo 1: Medición de sombras

Puede usar la igualdad para determinar la altura de un objeto usando su sombra. Considere una situación donde necesita encontrar la altura de un árbol:

  1. Donde hay luz solar, mida la sombra del árbol estando de pie con un palo de un metro de largo.
  2. Suponga que la sombra del árbol es de 9 metros y la sombra del palo es de 1.5 metros.
Altura del palo / Longitud de la sombra del palo = Altura del árbol / Longitud de la sombra del árbol
1 m / 1.5 m = altura del árbol / 9 m

Al resolver esto, la altura del árbol = 6 m

Ejemplo 2: Construcción de una rampa

Se debe construir una rampa a 1.5 m sobre el nivel del suelo para dar acceso a la puerta para una silla de ruedas. Según los códigos de construcción, la pendiente no debe exceder una proporción de 1:15.

Elevación vertical (altura de la puerta) = 1.5 m
Pendiente máxima = profundidad de la base de la rampa / elevación vertical  1.5 m * 15 = 22.5 m

Conclusión

Entender las similitudes en la geometría nos da el conocimiento que necesitamos para resolver problemas del mundo real. Ofrece claridad en la creación de escala, proporción y mantener diseños consistentes en una variedad de campos, incluyendo arte, arquitectura, naturaleza e ingeniería. Reconocer y aplicar estos principios puede mejorar enormemente nuestra comprensión espacial y abrir la puerta a muchas oportunidades de resolución de problemas.


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Aplicaciones del paralelismo en la vida real

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