Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Similitud de triángulos


La geometría es un mundo fascinante de formas, medidas y estructuras. Uno de los conceptos fundamentales en geometría es la similitud, específicamente la similitud de triángulos. Comprender cómo los triángulos pueden ser similares implica reconocer patrones y relaciones entre sus ángulos y lados. En esta exposición, aprenderemos sobre los criterios y principios subyacentes que determinan cuándo los triángulos son similares, respaldados con ejemplos tanto dibujados como textuales.

¿Qué es la similitud de triángulos?

Cuando decimos que dos triángulos son similares, nos referimos a que tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Formalmente, dos triángulos son similares si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes están en proporción. El concepto de similitud se escribe usando el símbolo "~", por lo que si el triángulo ABC es similar al triángulo DEF, lo escribimos como ΔABC ~ ΔDEF.

Condiciones para la similitud de triángulos

Hay tres condiciones o criterios principales que nos ayudan a determinar si dos triángulos son similares. Estas condiciones son ángulo-ángulo (AA), lado-lado-lado (SSS) y lado-ángulo-lado (SAS).

Criterio Ángulo-Ángulo (AA)

El criterio ángulo-ángulo (AA) para la similitud afirma que si dos ángulos de un triángulo son similares a dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son similares.

ABCDIF

Considere los triángulos ΔABC y ΔDEF. Si sabemos que ∠A = ∠D y ∠B = ∠E, entonces, por el criterio AA, ΔABC ~ ΔDEF.

Criterio Lado-Lado-Lado (SSS)

El Criterio Lado-Lado-Lado (SSS) establece que si los lados correspondientes de dos triángulos están en proporción, entonces los triángulos son similares.

Si AB/DE = BC/EF = AC/DF,
Entonces ΔABC ~ ΔDEF.

Ejemplo: Sea AB = 4, BC = 6, AC = 8; y DE = 2, EF = 3, DF = 4 Podemos comprobar:

AB/DE = 4/2 = 2,
BC/EF = 6/3 = 2,
AC/DF = 8/4 = 2.

Dado que todas las razones son iguales, por el criterio SSS, ΔABC ~ ΔDEF.

Criterio Lado-Ángulo-Lado (SAS)

El Criterio Lado-Ángulo-Lado (SAS) para la similitud nos dice que si dos lados de un triángulo están en la misma proporción que dos lados de otro triángulo, y los ángulos incluidos son iguales, entonces los triángulos son similares.

Si AB/DE = AC/DF y ∠A = ∠D,
Entonces ΔABC ~ ΔDEF.

Ejemplo: Sea AB = 6, AC = 9, y DE = 3, DF = 4.5, además ∠A = ∠D = 45°.

AB/DE = 6/3 = 2,
AC/DF = 9/4.5 = 2.

Con ∠A = ∠D, el criterio SAS confirma que ΔABC ~ ΔDEF.

Aplicaciones de la similitud de triángulos

Comprender la similitud de triángulos no es solo un ejercicio académico; tiene aplicaciones prácticas en muchos campos. Estas aplicaciones incluyen la resolución de problemas en arquitectura, ingeniería, astronomía e incluso arte.

Medición de altura

La igualdad puede usarse para medir la altura de objetos que son difíciles de medir directamente. Por ejemplo, para determinar la altura de un árbol, puedes medir la longitud de su sombra y compararla con la longitud de la sombra proyectada por una altura conocida más pequeña.

Suponga que un palo de 1.5 metros de altura proyecta una sombra de 2 metros de longitud, mientras que al mismo tiempo la sombra de un árbol es de 10 metros de longitud. A partir de la similitud de triángulos:

Altura del árbol / Sombra del árbol = Altura del palo / Sombra del palo
Altura del árbol / 10 = 1.5 / 2

Resolver esto da la altura del árbol = (1.5/2) * 10 = 7.5 metros.

Modelos a escala del mundo real

Los modelos a escala son representaciones en miniatura de estructuras más grandes, como edificios o barcos. Al asegurarse de que todas las medidas se mantengan proporcionales, el modelo sigue siendo una versión más pequeña del objeto más grande.

Propiedades de los triángulos similares

Hay muchas propiedades notables de los triángulos similares que pueden usarse para resolver una variedad de problemas geométricos.

Altura compatible

Las altitudes correspondientes de triángulos similares son proporcionales a los lados correspondientes.

Medianas correspondientes

Las medianas correspondientes de triángulos similares son proporcionales a los lados correspondientes.

Perímetro y área

Si los triángulos son similares, entonces sus perímetros son proporcionales a los lados. La razón de las áreas de dos triángulos similares es igual al cuadrado de la razón de sus lados correspondientes.

Si ΔABC ~ ΔDEF y AB/DE = k,
Entonces (Área de ΔABC) / (Área de ΔDEF) = k².

Teorema de Pitágoras en triángulos similares

En el contexto de la similitud, el Teorema de Pitágoras proporciona una herramienta útil para comprender las relaciones triangulares. Si una serie de triángulos más pequeños dentro de un triángulo rectángulo más grande son similares entre sí y al triángulo más grande, entonces el Teorema de Pitágoras es cierto en múltiples niveles en estos triángulos.

Considere un triángulo rectángulo ΔABC con ∠C = 90°. Se dibuja una perpendicular desde el vértice C a la hipotenusa en el punto D, formando tres triángulos rectángulos: ΔACD, ΔBCD y el triángulo más grande ΔABC. Los tres triángulos son similares.

Pruebas que involucran igualdad

A lo largo de la geometría, las pruebas que involucran triángulos similares pueden proporcionar ideas significativas y soluciones hermosas a problemas complejos.

Encontrar líneas paralelas con similitud de triángulos

Si un transversal intersecta dos líneas y forma ángulos correspondientes que son iguales, entonces, por el inverso del postulado de los ángulos correspondientes, las líneas son paralelas.

Considere los triángulos ΔABC y ΔABD, donde ∠BAC = ∠BAD y AB es el lado de cada uno. Si AC es paralelo a BD, entonces por la condición Ángulo-Ángulo-Lado (AAS) cualquier línea transversal formará triángulos similares en los cuales los ángulos correspondientes iguales prueban que las líneas son paralelas.

Conclusión

La similitud de triángulos es un tema fundamental en geometría que subyace a una gama de aplicaciones prácticas y problemas teóricos. Al comprender estos principios, los estudiantes obtienen poderosas herramientas para analizar formas geométricas y conceptos fundamentales para matemáticas avanzadas y materias relacionadas.


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