Класс 10 → Геометрия → Понимание подобия в геометрии ↓
Критерии подобия
В геометрии подобие относится к ситуации, когда две фигуры имеют одинаковую форму, но могут различаться по размеру. Когда два объекта имеют одинаковую форму, их углы равны, а стороны одного пропорциональны сторонам другого. Понимание подобия существенно для решения различных задач, связанных с формами и размерами. Главное внимание уделяется подобным многоугольникам, особенно треугольникам. Давайте рассмотрим эту концепцию более подробно.
Понимание равенства
Две геометрические фигуры подобны, если они имеют одинаковую форму. Это не означает, что они имеют одинаковый размер. Начнем с основного критерия, который определяет, подобны ли два треугольника:
- Угол-Угол (AA)
- Сторона-Угол-Сторона (SAS)
- Сторона-Сторона-Сторона (SSS)
Критерий Угол-Угол (AA)
Согласно критерию угол-угол (AA), если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то два треугольника подобны. Это основано на факте, что сумма внутренних углов в треугольнике всегда равна 180 градусам, поэтому если два угла известны, третий угол определяется неявно.
Этот треугольник называется ABC, где ∠A = ∠D и ∠B = ∠E, подобен другому треугольнику DEF по критерию AA.
Критерий Сторона-Угол-Сторона (SAS)
Критерий Сторона-Угол-Сторона (SAS) для подобия гласит, что если один угол треугольника равен одному углу другого треугольника, а стороны, включающие эти углы, пропорциональны, то треугольники подобны. Этот критерий включает две пары сторон и угол между ними.
Треугольники ABC и DEF:
AB / DE = BC / EF = AC / DF
Если указанные выше отношения удовлетворяют ∠A = ∠D, то треугольник ABC подобен треугольнику DEF по критерию SAS.
Критерий Сторона-Сторона-Сторона (SSS)
Согласно критерию Сторона-Сторона-Сторона (SSS), два треугольника подобны, если соответствующие стороны двух треугольников пропорциональны. Это означает, что отношение длины их соответствующих сторон равно.
Треугольники ABC и DEF:
AB / DE = BC / EF = AC / DF
Если стороны двух треугольников удовлетворяют этому условию, то они подобны по критерию SSS.
Изучение примеров задач
Пример 1: Докажите подобие треугольников, используя критерий AA
Треугольник, углы которого ∠P = 30°, ∠Q = 60°, и другой треугольник, углы которого ∠A = 30°, ∠B = 60°, даны. Докажите подобие этих треугольников.
Решение:
Так как ∠P = 30° = ∠A и ∠Q = 60° = ∠B, согласно критерию AA, треугольник PQR подобен треугольнику ABC.
Пример 2: Докажите подобие треугольников, используя критерий SAS
Рассмотрим два треугольника: в треугольнике XYZ, ∠XY = 3 см, ∠X = 45°, ∠YZ = 4 см. В треугольнике DEF, DE = 6 см, ∠D = 45°, EF = 8 см. Докажите, что треугольники подобны.
Решение:
- Проверьте пропорциональность сторон: XY / DE = 3 / 6 = 1/2
- XZ / DF = 4 / 8 = 1/2
Так как отношения равны и ∠X = ∠D = 45°, треугольник XYZ подобен треугольнику DEF по критерию SAS.
Пример 3: Докажите подобие треугольников, используя критерий SSS
Даны два треугольника: треугольник LMN и треугольник PQR, где:
- LM = 4 см, MN = 5 см, LN = 6 см
- PQ = 8 см, QR = 10 см, PR = 12 см
Покажите, что эти треугольники подобны.
Решение:
- Проверьте соотношение: LM / PQ = 4 / 8 = 1/2
- MN / QR = 5 / 10 = 1/2
- Ln / Pr = 6 / 12 = 1/2
Поскольку все соответствующие стороны пропорциональны, т.е. в одинаковом отношении, треугольник LMN подобен треугольнику PQR по критерию SSS.
Практическое использование
Понимание подобия в геометрии имеет практическое применение в повседневной жизни, например, при чтении карт, в архитектуре и даже в искусстве. Знание того, как масштабировать объекты или уменьшать настройки до управляемых измерений образцов, концепции подобия универсально применимы в математической практике, так же как и в смежных областях.
Заключение
Распознавание критериев подобия в треугольниках и других геометрических фигурах позволяет нам делать точные сравнения и измерения. Критерии AA, SAS и SSS составляют основные принципы, которые направляют нас при проверке подобия. Эти принципы не ограничиваются теоретической математикой, но также предлагают достаточную практичность в повседневных жизненных ситуациях, так как их понимание помогает решать различные геометрические задачи. С более широким пониманием подобия мы можем решать более сложные проблемы, связанные с другими математическими темами.
комментарии