10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

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Critérios de semelhança


Na geometria, semelhança refere-se a uma situação em que duas figuras têm a mesma forma, mas podem diferir em tamanho. Quando dois objetos compartilham a mesma forma, seus ângulos são iguais e os lados de um são proporcionais aos lados do outro. Compreender a semelhança é essencial para resolver vários problemas relacionados a formas e tamanhos. Os polígonos semelhantes são o foco principal, especialmente os triângulos. Vamos entender este conceito com mais profundidade.

Compreendendo a igualdade

Duas figuras geométricas são semelhantes se tiverem a mesma forma. Isso não significa que tenham o mesmo tamanho. Vamos começar com o critério principal que determina se dois triângulos são semelhantes:

  • Ângulo-Ângulo (AA)
  • Lado-Ângulo-Lado (LAL)
  • Lado-Lado-Lado (LLL)

Critério Ângulo-Ângulo (AA)

De acordo com o critério Ângulo-Ângulo (AA), se dois ângulos de um triângulo forem respectivamente iguais a dois ângulos de outro triângulo, então os dois triângulos são semelhantes. Baseia-se no fato de que a soma dos ângulos internos em um triângulo é sempre 180 graus, então, se dois ângulos são conhecidos, o terceiro ângulo é implicitamente definido.

A B C

Este triângulo chamado ABC, onde ∠A = ∠D e ∠B = ∠E, é semelhante a outro triângulo DEF segundo o critério AA.

Critério Lado-Ângulo-Lado (LAL)

O critério Lado-Ângulo-Lado (LAL) para semelhança afirma que se um ângulo de um triângulo é igual a um ângulo de outro triângulo e os lados que incluem esses ângulos estão em proporção, então os triângulos são semelhantes. Este critério envolve dois pares de lados e o ângulo entre eles.

    Triângulos ABC e DEF:
    AB / DE = BC / EF = AC / DF

Desde que as razões acima satisfaçam ∠A = ∠D, então o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF segundo o critério LAL.

Critério Lado-Lado-Lado (LLL)

De acordo com o critério Lado-Lado-Lado (LLL), dois triângulos são semelhantes se os lados correspondentes dos dois triângulos são proporcionais. Isso significa que a razão das medidas de seus lados correspondentes é igual.

    Triângulos ABC e DEF:
    AB / DE = BC / EF = AC / DF

Se os lados de dois triângulos satisfazem esta condição, então eles são semelhantes segundo o critério LLL.

Explorando problemas de exemplo

Exemplo 1: Provando a semelhança de triângulos usando o critério AA

É dado um triângulo cujos ângulos são ∠P = 30°, ∠Q = 60°, e outro triângulo cujos ângulos são ∠A = 30°, ∠B = 60°. Prove que esses triângulos são semelhantes.

Solução:

Como ∠P = 30° = ∠A e ∠Q = 60° = ∠B, pelo critério AA, o triângulo PQR é semelhante ao triângulo ABC.

Exemplo 2: Provando a semelhança de triângulos usando critérios LAL

Considere dois triângulos: No triângulo XYZ, ∠XY = 3 cm, ∠X = 45°, ∠YZ = 4 cm. No triângulo DEF, DE = 6 cm, ∠D = 45°, EF = 8 cm. Prove que os triângulos são semelhantes.

Solução:

  • Verifique a proporcionalidade dos lados: XY / DE = 3 / 6 = 1/2
  • XZ / DF = 4 / 8 = 1/2

Como as razões são iguais e ∠X = ∠D = 45°, o triângulo XYZ é semelhante ao triângulo DEF pelo critério LAL.

Exemplo 3: Provando a semelhança de triângulos usando o critério LLL

Dois triângulos são dados: triângulo LMN e triângulo PQR, onde:

  • LM = 4 cm, MN = 5 cm, LN = 6 cm
  • PQ = 8 cm, QR = 10 cm, PR = 12 cm

Mostre que esses triângulos são semelhantes.

Solução:

  • Verifique a razão: LM / PQ = 4 / 8 = 1/2
  • MN / QR = 5 / 10 = 1/2
  • LN / PR = 6 / 12 = 1/2

Como todos os lados correspondentes estão em proporção, ou seja, na mesma razão, portanto, o triângulo LMN é semelhante ao triângulo PQR pelo critério LLL.

Aplicações práticas

Compreender a semelhança na geometria tem aplicações práticas na vida real, como a leitura de mapas, arquitetura e até mesmo arte. Desde saber como escalar objetos ou reduzir um arranjo em medidas de amostra manejáveis, os conceitos de semelhança são universalmente aplicáveis na prática matemática, bem como em campos de alinhamento.

Conclusão

Reconhecer os critérios de semelhança em triângulos e outras formas geométricas permite-nos fazer comparações e medições precisas. Os critérios AA, LAL e LLL formam os princípios fundamentais que nos guiam na verificação de semelhança. Estes princípios não se limitam à matemática teórica, mas também oferecem ampla praticidade em cenários do dia-a-dia, pois entendê-los nos ajuda a resolver diversos problemas geométricos. Com uma compreensão mais ampla da semelhança, podemos abordar problemas mais complexos envolvendo outros tópicos matemáticos.


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