10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

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Compreendendo formas semelhantes na geometria


Figuras semelhantes são conceitos fundamentais na geometria. Em termos simples, figuras semelhantes têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Ao trabalhar com essas figuras, muitas vezes comparamos seus comprimentos e ângulos para entender a ideia de semelhança. Neste guia abrangente, exploraremos o que são figuras semelhantes, como identificá-las e vários conceitos-chave relacionados à semelhança.

Definição de formas semelhantes

Figuras semelhantes na geometria são figuras que têm a mesma forma, mas podem variar em tamanho. Duas figuras são consideradas semelhantes se:

  • Todos os ângulos correspondentes são iguais.
  • Os comprimentos de seus lados correspondentes estão em proporção.

Compreender essas duas características principais ajudará você a determinar se duas formas são semelhantes.

Proporcionalidade dos lados correspondentes

Uma propriedade essencial das figuras semelhantes é que a razão dos comprimentos de seus lados correspondentes é a mesma. Para ilustrar este ponto, vamos considerar dois retângulos, retângulo A e retângulo B.

A B

No exemplo acima, se os comprimentos dos lados do retângulo A estão em uma proporção de 1:2 em comparação com os comprimentos do retângulo B, então esses retângulos são semelhantes. Por exemplo, se os comprimentos dos lados do retângulo A são 4 e 8, então os comprimentos dos lados correspondentes do retângulo B devem ser 8 e 16.

    Razão dos Comprimentos dos Lados Correspondentes: (Lado 1 de A) / (Lado 1 de B) = (Lado 2 de A) / (Lado 2 de B) 4 / 8 = 8 / 16 = 1/2
    Razão dos Comprimentos dos Lados Correspondentes: (Lado 1 de A) / (Lado 1 de B) = (Lado 2 de A) / (Lado 2 de B) 4 / 8 = 8 / 16 = 1/2

Iguais ângulos correspondentes

Além dos lados proporcionais, outro aspecto importante é que os ângulos correspondentes de figuras semelhantes são sempre iguais. Isso é fácil de ver quando tomamos dois triângulos, triângulo X e triângulo Y.

X Y

Suponha que o triângulo X tenha ângulos de 30°, 60° e 90°, e o triângulo Y também tenha ângulos de 30°, 60° e 90°. Com base no critério dos ângulos, esses dois triângulos são semelhantes.

Trabalhando com formas semelhantes

Ao trabalhar com figuras semelhantes, entender a proporcionalidade dos lados e a igualdade dos ângulos ajuda a resolver uma variedade de problemas geométricos, como determinar comprimentos de lados ou ângulos faltantes.

Exemplo 1: Encontrando o lado faltante

Considere dois triângulos semelhantes, triângulo P e triângulo Q. O triângulo P tem lados com comprimentos de 3, 4 e 5. O triângulo Q tem dois lados com comprimentos de 6 e 8, e o terceiro lado é desconhecido.

    Triângulo P: 3, 4, 5 Triângulo Q: 6, 8, x Para encontrar x (comprimento do lado faltante do Triângulo Q): Razão dos lados conhecidos: 3/6 = 4/8 = 5/x 1/2 = 1/2 = 5/x Multiplique cruzados para encontrar x: 5 * 2 = xx = 10
    Triângulo P: 3, 4, 5 Triângulo Q: 6, 8, x Para encontrar x (comprimento do lado faltante do Triângulo Q): Razão dos lados conhecidos: 3/6 = 4/8 = 5/x 1/2 = 1/2 = 5/x Multiplique cruzados para encontrar x: 5 * 2 = xx = 10

Exemplo 2: Encontrando o ângulo faltante

Vamos considerar dois quadriláteros semelhantes, quadrilátero R e quadrilátero S. Os ângulos do quadrilátero R são 50°, 60°, 80° e 170°, enquanto os ângulos do quadrilátero S são 50°, 60° e 80°, com um ângulo faltante.

    Quadrilátero R: 50°, 60°, 80°, 170° Quadrilátero S: 50°, 60°, 80°, y Como esses quadriláteros são semelhantes, seus ângulos correspondentes são iguais: Portanto, y = 170°
    Quadrilátero R: 50°, 60°, 80°, 170° Quadrilátero S: 50°, 60°, 80°, y Como esses quadriláteros são semelhantes, seus ângulos correspondentes são iguais: Portanto, y = 170°

Aplicações de formas semelhantes

Compreender formas semelhantes não é apenas importante teoricamente; também tem aplicações práticas na vida cotidiana, como na arte, arquitetura e engenharia. Por exemplo, arquitetos usam formas semelhantes para criar modelos em escala de edifícios, ajudando-os a visualizar projetos antes da construção.

Exemplos em arquitetura

Suponha que um arquiteto projete uma casa e construa um modelo com as dimensões reduzidas por um fator de 1:100. A frente da casa real tem 200 pés de largura, enquanto o modelo tem apenas 2 pés de largura. Essas duas figuras são idênticas, obedecendo aos mesmos princípios discutidos acima.

Exemplos em arte

Artistas costumam usar as mesmas formas para criar pinturas em tamanhos diferentes. Muitas obras de arte mantêm a proporcionalidade de tamanho, mesmo quando ampliadas ou reduzidas.

Propriedades das formas semelhantes

Além da proporcionalidade e congruência dos ângulos, outras propriedades entram em jogo quando lidamos com figuras semelhantes:

  • Perímetro: A razão dos perímetros de duas figuras semelhantes é igual à razão dos comprimentos dos seus lados correspondentes.
  • Área: A razão das áreas de figuras semelhantes é o quadrado da razão dos comprimentos dos seus lados correspondentes. Se a razão dos comprimentos dos lados é r, então a razão das áreas é r2.

Exemplo: Calculando perímetro e área

Considere dois quadrados idênticos, quadrado F com um lado de 5 unidades, e quadrado G com um lado de 10 unidades:

  • Perímetro do quadrado F = 4 * 5 = 20
  • Perímetro do quadrado G = 4 * 10 = 40
  • Razão do perímetro: 20/40 = 1/2
  • Área do quadrado F = 5 * 5 = 25
  • Área do quadrado G = 10 * 10 = 100
  • Razão da área: 25/100 = 1/4

Testando para igualdade

Ao receber duas formas geométricas, vários métodos podem ser usados para testar sua semelhança:

  • Criterio AA (Ângulo-Ângulo): Se dois ângulos de uma figura são iguais a dois ângulos de outra figura, então as figuras são semelhantes.
  • Criterio LLL (Lado-Lado-Lado): Se os comprimentos de todos os lados correspondentes de duas figuras estão em proporção, então as figuras são semelhantes.
  • Criterio LAL (Lado-Ângulo-Lado): Se dois lados de uma figura estão na mesma proporção que dois lados de outra figura, e os ângulos entre eles são iguais, então as figuras são semelhantes.

Exemplo de teste de equivalência com o critério AA

Suponha que temos dois triângulos, onde o triângulo A tem ângulos de 45° e 90°, e o triângulo B tem ângulos de 45° e 90°. De acordo com o critério AA, esses triângulos são semelhantes.

Exemplo de teste de equivalência com o critério LLL

Considere dois triângulos, triângulo C com lados 3, 4 e 5, e triângulo D com lados 6, 8 e 10. Os lados estão em proporção:

    Razão dos lados correspondentes: 3/6 = 4/8 = 5/10 = 1/2
    Razão dos lados correspondentes: 3/6 = 4/8 = 5/10 = 1/2

Como as razões são iguais, os triângulos são semelhantes de acordo com o critério LLL.

Conclusão

Formas semelhantes são a base para entender a geometria. Identificar padrões semelhantes permite que matemáticos e diversos profissionais resolvam problemas geométricos e apliquem esses conceitos a situações do mundo real. Ao compreender as propriedades e critérios de semelhança, você pode reconhecer essas formas e trabalhar com elas de forma eficaz.


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Compreendendo formas semelhantes na geometria

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