Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Entendiendo formas similares en geometría


Las figuras similares son conceptos fundamentales en geometría. En términos simples, las figuras similares tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. Al trabajar con estas figuras, a menudo comparamos sus longitudes y ángulos para entender la idea de similitud. En esta guía completa, exploraremos qué son las figuras similares, cómo identificarlas, y varios conceptos clave relacionados con la similitud.

Definición de formas similares

Las figuras similares en geometría son figuras que tienen la misma forma pero pueden variar en tamaño. Dos figuras se consideran similares si:

  • Todos los ángulos correspondientes son iguales.
  • Las longitudes de sus lados correspondientes están en proporción.

Entender estas dos características clave te ayudará a determinar si dos formas son similares.

Proporcionalidad de lados correspondientes

Una propiedad esencial de las figuras similares es que la proporción de las longitudes de sus lados correspondientes es la misma. Para ilustrar este punto, consideremos dos rectángulos, el rectángulo A y el rectángulo B.

A B

En el ejemplo anterior, si las longitudes de los lados del rectángulo A están en una proporción de 1:2 en comparación con las longitudes del rectángulo B, entonces estos rectángulos son similares. Por ejemplo, si las longitudes de los lados del rectángulo A son 4 y 8, entonces las longitudes correspondientes del rectángulo B deben ser 8 y 16.

    Proporción de Longitudes de Lados Correspondientes: (Lado 1 de A) / (Lado 1 de B) = (Lado 2 de A) / (Lado 2 de B) 4 / 8 = 8 / 16 = 1/2
    Proporción de Longitudes de Lados Correspondientes: (Lado 1 de A) / (Lado 1 de B) = (Lado 2 de A) / (Lado 2 de B) 4 / 8 = 8 / 16 = 1/2

Igualdad de ángulos correspondientes

Aparte de los lados proporcionales, otro aspecto importante es que los ángulos correspondientes de figuras similares son siempre iguales. Esto es fácil de ver cuando tomamos dos triángulos, el triángulo X y el triángulo Y.

X Y

Supongamos que el triángulo X tiene ángulos de 30°, 60° y 90°, y el triángulo Y también tiene ángulos de 30°, 60° y 90°. Basado en el criterio de ángulos, estos dos triángulos son similares.

Trabajando con formas similares

Al trabajar con figuras similares, entender la proporcionalidad de lados y la igualdad de ángulos ayuda a resolver una variedad de problemas geométricos, como determinar longitudes o ángulos faltantes.

Ejemplo 1: Encontrar el lado faltante

Considera dos triángulos similares, el triángulo P y el triángulo Q. El triángulo P tiene lados de longitud 3, 4 y 5. El triángulo Q tiene dos lados de longitud 6 y 8, y el tercer lado es desconocido.

    Triángulo P: 3, 4, 5 Triángulo Q: 6, 8, x Para encontrar x (longitud del lado faltante del Triángulo Q): Proporción de lados conocidos: 3/6 = 4/8 = 5/x 1/2 = 1/2 = 5/x Cruzar para encontrar x: 5 * 2 = xx = 10
    Triángulo P: 3, 4, 5 Triángulo Q: 6, 8, x Para encontrar x (longitud del lado faltante del Triángulo Q): Proporción de lados conocidos: 3/6 = 4/8 = 5/x 1/2 = 1/2 = 5/x Cruzar para encontrar x: 5 * 2 = xx = 10

Ejemplo 2: Encontrar el ángulo faltante

Tomemos dos cuadriláteros similares, el cuadrilátero R y el cuadrilátero S. Los ángulos del cuadrilátero R son 50°, 60°, 80° y 170°, mientras que los ángulos del cuadrilátero S son 50°, 60° y 80°, con un ángulo faltante.

    Cuadrilátero R: 50°, 60°, 80°, 170° Cuadrilátero S: 50°, 60°, 80°, y Debido a que estos cuadriláteros son similares, sus ángulos correspondientes son iguales: Por lo tanto, y = 170°
    Cuadrilátero R: 50°, 60°, 80°, 170° Cuadrilátero S: 50°, 60°, 80°, y Debido a que estos cuadriláteros son similares, sus ángulos correspondientes son iguales: Por lo tanto, y = 170°

Aplicaciones de formas similares

Comprender formas análogas no solo es importante teóricamente; también tiene aplicaciones prácticas en la vida cotidiana, como en el arte, la arquitectura y la ingeniería. Por ejemplo, los arquitectos usan formas análogas para crear modelos a escala de edificios, ayudándoles a visualizar diseños antes de la construcción.

Ejemplos en arquitectura

Supongamos que un arquitecto diseña una casa y construye un modelo con las dimensiones reducidas por un factor de 1:100. El frente de la casa real tiene 200 pies de ancho, mientras que el modelo solo tiene 2 pies de ancho. Estas dos figuras son idénticas, obedeciendo los mismos principios discutidos anteriormente.

Ejemplos en el arte

Los artistas a menudo usan las mismas formas para crear pinturas de diferentes tamaños. Muchas obras de arte mantienen la proporcionalidad del tamaño, incluso cuando se agrandan o reducen.

Propiedades de formas similares

Además de la proporcionalidad y la congruencia de los ángulos, otras propiedades entran en juego al tratar con figuras similares:

  • Perímetro: La proporción de los perímetros de dos figuras similares es igual a la proporción de las longitudes de sus lados correspondientes.
  • Área: La proporción de las áreas de figuras similares es el cuadrado de la proporción de las longitudes de sus lados correspondientes. Si la proporción de las longitudes de los lados es r, entonces la proporción de las áreas es r2.

Ejemplo: Calcular perímetro y área

Considera dos cuadrados idénticos, el cuadrado F con un lado de 5 unidades, y el cuadrado G con un lado de 10 unidades:

  • Perímetro del cuadrado F = 4 * 5 = 20
  • Perímetro del cuadrado G = 4 * 10 = 40
  • Proporción del perímetro: 20/40 = 1/2
  • Área del cuadrado F = 5 * 5 = 25
  • Área del cuadrado G = 10 * 10 = 100
  • Proporción del área: 25/100 = 1/4

Prueba de igualdad

Cuando se dan dos formas geométricas, se pueden utilizar varios métodos para probar su similitud:

  • Criterio AA (Ángulo-Ángulo): Si dos ángulos de una figura son iguales a dos ángulos de otra figura, entonces las figuras son similares.
  • Criterio SSS (Lado-Lado-Lado): Si las longitudes de todos los lados correspondientes de dos figuras están en proporción, entonces las figuras son similares.
  • Criterio SAS (Lado-Ángulo-Lado): Si dos lados de una figura están en la misma proporción que dos lados de otra figura, y los ángulos entre ellos son iguales, entonces las figuras son similares.

Ejemplo de prueba de equivalencia con el criterio AA

Supongamos que tenemos dos triángulos, donde el triángulo A tiene ángulos de 45° y 90°, y el triángulo B tiene ángulos de 45° y 90°. Según el criterio AA, estos triángulos son similares.

Ejemplo de prueba de equivalencia con el criterio SSS

Considera dos triángulos, el triángulo C con lados 3, 4 y 5, y el triángulo D con lados 6, 8 y 10. Los lados están en proporción:

    Proporción de lados correspondientes: 3/6 = 4/8 = 5/10 = 1/2
    Proporción de lados correspondientes: 3/6 = 4/8 = 5/10 = 1/2

Dado que las proporciones son iguales, los triángulos son similares según el criterio SSS.

Conclusión

Las formas similares son la piedra angular para entender la geometría. Identificar patrones similares permite a matemáticos y varios profesionales resolver problemas geométricos y aplicar estos conceptos a situaciones del mundo real. Al entender las propiedades y criterios de similitud, puedes reconocer estas formas y trabajarlas eficazmente.


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