10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

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Triângulo


Triângulos são uma das formas fundamentais na geometria. Um triângulo é um polígono de três lados, ou seja, é uma forma fechada com três bordas e três vértices. O estudo dos triângulos é importante porque eles são o tipo mais simples de polígono e são usados em vários aspectos, como arquitetura, engenharia, astronomia e arte.

Tipos de triângulos

Triângulos podem ser classificados em diferentes tipos com base em seus ângulos e nos comprimentos de seus lados. Compreender esses tipos é importante para identificar e resolver problemas envolvendo triângulos.

Com base no comprimento dos lados

Existem três tipos principais de triângulos dependendo do comprimento dos lados:

  • Triângulo equilátero: Todos os três lados têm comprimento igual. Cada ângulo interno é de 60 graus.
  • Triângulo isósceles: Dois lados têm comprimento igual e, consequentemente, os ângulos opostos a esses lados também são iguais.
  • Triângulo escaleno: Os três lados têm comprimentos diferentes e os três ângulos também são diferentes.

Com base nos ângulos

Os tipos de triângulos com base nos ângulos são os seguintes:

  • Triângulo acutângulo: Todos os três ângulos internos são menores que 90 graus.
  • Triângulo retângulo: Um desses ângulos é de 90 graus. O lado oposto a este ângulo é o mais longo e é chamado de hipotenusa.
  • Triângulo obtusângulo: Um de seus ângulos é maior que 90 graus.

Propriedades dos triângulos

Os triângulos possuem muitas propriedades interessantes, tais como:

Soma dos ângulos internos

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180 graus. Se os ângulos em um triângulo são A, B e C, então essa propriedade pode ser expressa como:

A + B + C = 180°

Exemplo visual

Considere um triângulo acutângulo simples representado visualmente:

A B C

Nesse triângulo, a soma dos ângulos A, B e C é 180 graus.

Teorema de Pitágoras

Em triângulos retângulos, o teorema de Pitágoras é uma relação fundamental expressa como:

a² + b² = c²

onde a e b são os comprimentos dos dois lados mais curtos, e c é o comprimento da hipotenusa.

Exemplo visual

A B C

Congruência e semelhança

Triângulos congruentes

Dois triângulos são congruentes se todos os lados e ângulos correspondentes são iguais. Os critérios de congruência mais comumente usados são:

  • LLL (Lado-Lado-Lado): Se três lados de um triângulo são iguais a três lados de outro triângulo.
  • LAI (Lado-Ângulo-Lado): Se dois lados e o ângulo entre eles de um triângulo são iguais aos dois lados e o ângulo entre eles de outro triângulo.
  • AIA (Ângulo-Lado-Ângulo): Se dois ângulos e o lado entre eles de um triângulo são iguais a dois ângulos e o lado entre eles de outro triângulo.
  • AAL (Ângulo-Ângulo-Lado): Se dois ângulos e um lado de um triângulo são iguais aos dois ângulos e um lado de outro triângulo.
  • CHL (Ângulo Reto-Hipotenusa-Lado): Em triângulos retângulos, se a hipotenusa e um lado de um triângulo são iguais à hipotenusa e um lado do outro triângulo.

Triângulos semelhantes

Triângulos são semelhantes se seus ângulos correspondentes são iguais, e seus lados correspondentes são proporcionais. Os critérios de semelhança comuns são:

  • AA (Ângulo-Ângulo): Se dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos de outro triângulo.
  • LAS (Lado-Ângulo-Lado): Se o ângulo entre dois lados de um triângulo é igual ao ângulo entre dois lados de outro triângulo, e os lados estão na mesma proporção.
  • LLL (Lado-Lado-Lado): Se os lados correspondentes de dois triângulos estão em proporção.

Centros críticos em um triângulo

Existem vários pontos importantes associados aos triângulos, conhecidos como centros. Estes incluem o baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro.

Baricentro

O baricentro é o ponto onde as três medianas de um triângulo se intersectam. A mediana é uma linha traçada de um vértice ao ponto médio do lado oposto. O baricentro divide cada mediana em dois segmentos, um dos quais é duas vezes maior que o outro.

Exemplo visual

O ponto vermelho é o baricentro.

Incentro

O incentro é o ponto de interseção das bissetrizes dos ângulos do triângulo. É o centro do círculo inscrito, que é o maior círculo que cabe dentro do triângulo.

Circuncentro

O circuncentro é o ponto onde as bissetrizes perpendiculares dos lados se intersectam. É o centro do círculo circunscrito, que passa por todos os vértices do triângulo.

Ortócentro

O ortocentro é o ponto onde as alturas (ou extensões das alturas) de um triângulo se intersectam. Uma altura é uma linha perpendicular de um vértice à linha no lado oposto.

Área e perímetro de um triângulo

Calcular a área e o perímetro de um triângulo é uma habilidade fundamental na geometria.

Perímetro

O perímetro de um triângulo é simplesmente a soma dos comprimentos de seus lados. Se os comprimentos dos lados de um triângulo são a, b e c, então o perímetro P é dado por:

P = a + b + c

Área

A área de um triângulo pode ser calculada usando diferentes fórmulas dependendo das informações conhecidas:

  • Fórmula base-altura: Se a base b e a altura h são conhecidas, então a área A é: 
    A = (1/2) × b × h
  • Fórmula de Heron: Se todos os três lados são conhecidos, use a fórmula de Heron para a área: 
    s = (a + b + c) / 2
A = √(s × (s - a) × (s - b) × (s - c))
    onde s é o semiperímetro.

Triângulos retângulos especiais

Alguns triângulos retângulos têm propriedades especiais que os tornam particularmente úteis.

Triângulo 45-45-90

Os ângulos neste triângulo são 45 graus, 45 graus e 90 graus. Os lados estão na razão 1:1:√2. Portanto, se os catetos são x, então a hipotenusa será x√2.

Exemplo visual

X X x√2

Triângulo 30-60-90

Em um triângulo 30-60-90, os lados estão na razão 1:√3:2. Se o lado mais curto (oposto ao ângulo de 30 graus) é x, então o lado oposto ao ângulo de 60 graus será x√3, e a hipotenusa será 2x.

Exemplo visual

X x√3 2x

Aplicações dos triângulos

Os triângulos são usados em várias aplicações, como trigonometria, navegação, gráficos computacionais e engenharia estrutural. Compreender as propriedades e os tipos de triângulos pode ajudar a resolver problemas complexos relacionados a eles.

Problemas de exemplo

Vamos examinar alguns problemas de exemplo para compreender melhor os conceitos:

Exemplo 1

Dado um triângulo retângulo com lados 3, 4 e 5, verifique se é um triângulo retângulo.

Calcule usando o teorema de Pitágoras:
3² + 4² = 9 + 16 = 25
5² = 25
Como ambos os lados da equação são iguais, isso confirma que o triângulo é um triângulo retângulo.

Exemplo 2

Encontre a área de um triângulo equilátero cujo comprimento do lado é 6 unidades.

A fórmula para a área de um triângulo equilátero é:
A = (√3 / 4) × a²
A = (√3 / 4) × 6² = 9√3 unidades quadradas.

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