Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Triángulo


Los triángulos son una de las formas fundamentales en la geometría. Un triángulo es un polígono de tres lados, lo que significa que es una forma cerrada con tres bordes y tres vértices. El estudio de los triángulos es importante porque son el tipo más simple de polígono y se utilizan en varios aspectos como la arquitectura, la ingeniería, la astronomía y el arte.

Tipos de triángulos

Los triángulos pueden clasificarse en diferentes tipos según sus ángulos y la longitud de sus lados. Comprender estos tipos es importante para identificar y resolver problemas que involucran triángulos.

Según la longitud de los lados

Hay tres tipos principales de triángulos dependiendo de la longitud de los lados:

  • Triángulo equilátero: Los tres lados son de igual longitud. Cada ángulo interior es de 60 grados.
  • Triángulo isósceles: Dos lados son de igual longitud y, por consiguiente, los ángulos opuestos a estos lados también son iguales.
  • Triángulo escaleno: Los tres lados son de diferentes longitudes y los tres ángulos también son diferentes.

Según los ángulos

Los tipos de triángulos según los ángulos son los siguientes:

  • Triángulo acutángulo: Los tres ángulos interiores son menores de 90 grados.
  • Triángulo rectángulo: Uno de estos ángulos es de 90 grados. El lado opuesto a este ángulo es el más largo y se llama hipotenusa.
  • Triángulo obtusángulo: Uno de sus ángulos es mayor de 90 grados.

Propiedades de los triángulos

Los triángulos tienen muchas propiedades interesantes, tales como:

Suma de los ángulos interiores

La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es siempre 180 grados. Si los ángulos en un triángulo son A, B y C, entonces esta propiedad se puede expresar como:

A + B + C = 180°

Ejemplo visual

Consideremos un triángulo acutángulo simple representado visualmente:

A B C

En este triángulo, la suma de los ángulos A, B y C es 180 grados.

Teorema de Pitágoras

En triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras es una relación fundamental expresada como:

a² + b² = c²

donde a y b son las longitudes de los dos lados más cortos, y c es la longitud de la hipotenusa.

Ejemplo visual

A B C

Congruencia y similitud

Triángulos congruentes

Dos triángulos son congruentes si todos los lados y ángulos correspondientes son iguales. Los criterios de congruencia más utilizados son:

  • Lado-Lado-Lado (LLL): Si tres lados de un triángulo son iguales a tres lados de otro triángulo.
  • Lado-Ángulo-Lado (LAL): Si dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo son iguales a dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo.
  • Ángulo-Lado-Ángulo (ALA): Si dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son iguales a dos ángulos y el lado comprendido de otro triángulo.
  • Ángulo-Ángulo-Lado (AAL): Si dos ángulos y un lado de un triángulo son iguales a los dos ángulos y un lado correspondiente de otro triángulo.
  • Ángulo Recto-Hipotenusa-Lado (ARHL): En triángulos rectángulos, si la hipotenusa y un lado de un triángulo son iguales a la hipotenusa y un lado del otro triángulo.

Triángulos semejantes

Los triángulos son similares si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. Los criterios de similitud comunes son:

  • Ángulo-Ángulo (AA): Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo.
  • Lado-Ángulo-Lado (LAL): Si el ángulo entre dos lados de un triángulo es igual al ángulo entre dos lados de otro triángulo, y los lados están en la misma proporción.
  • Lado-Lado-Lado (LLL): Si los lados correspondientes de dos triángulos están en proporción.

Centros críticos en un triángulo

Hay varios puntos importantes asociados con los triángulos, conocidos como centros. Estos incluyen el centroide, el incentro, el circuncentro y el ortocentro.

Centroide

El centroide es el punto donde se intersecan las tres medianas de un triángulo. La mediana es una línea trazada desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. El centroide divide cada mediana en dos segmentos, uno de los cuales es dos veces más largo que el otro.

Ejemplo visual

El punto rojo es el centroide.

Incentro

El incentro es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos del triángulo. Es el centro del círculo inscrito, que es el círculo más grande que cabe dentro del triángulo.

Circuncentro

El circuncentro es el punto donde se intersectan las bisectrices perpendiculares de los lados. Es el centro del círculo circunscrito, que pasa por todos los vértices del triángulo.

Ortocentro

El ortocentro es el punto donde se intersectan las alturas (o extensiones de las alturas) de un triángulo. Una altura es una línea perpendicular trazada desde un vértice hasta la línea del lado opuesto.

Área y perímetro de un triángulo

Calcular el área y perímetro de un triángulo es una habilidad fundamental en la geometría.

Perímetro

El perímetro de un triángulo es simplemente la suma de las longitudes de sus lados. Si las longitudes de los lados de un triángulo son a, b y c, entonces el perímetro P se expresa como:

P = a + b + c

Área

El área de un triángulo puede calcularse usando diferentes fórmulas dependiendo de la información conocida:

  • Fórmula base-altura: Si se conoce la base b y la altura h, entonces el área A es: 
    A = (1/2) × b × h
  • Fórmula de Herón: Si se conocen los tres lados, usa la fórmula de Herón para el área: 
    s = (a + b + c) / 2
A = √(s × (s - a) × (s - b) × (s - c))
    donde s es el semiperímetro.

Triángulos rectángulos especiales

Algunos triángulos rectángulos tienen propiedades especiales que los hacen particularmente útiles.

Triángulo 45-45-90

Los ángulos en este triángulo son 45 grados, 45 grados y 90 grados. Los lados están en la proporción 1:1:√2. Por lo tanto, si los catetos son x, entonces la hipotenusa será x√2.

Ejemplo visual

X X x√2

Triángulo 30-60-90

En un triángulo 30-60-90, los lados están en la proporción 1:√3:2. Si el lado más corto (opuesto al ángulo de 30 grados) es x, entonces el lado opuesto al ángulo de 60 grados será x√3, y la hipotenusa será 2x.

Ejemplo visual

X x√3 2x

Aplicaciones de los triángulos

Los triángulos se utilizan en diversas aplicaciones como la trigonometría, la navegación, los gráficos por computadora y la ingeniería estructural. Comprender las propiedades y tipos de triángulos puede ayudar a resolver problemas complejos relacionados con ellos.

Problemas de ejemplo

Veamos algunos problemas de ejemplo para comprender mejor los conceptos:

Ejemplo 1

Dado un triángulo rectángulo con lados 3, 4 y 5, verifica si es un triángulo rectángulo.

Calcular usando el teorema de Pitágoras:
3² + 4² = 9 + 16 = 25
5² = 25
Dado que ambos lados de la ecuación son iguales, se confirma que el triángulo es un triángulo rectángulo.

Ejemplo 2

Encuentra el área de un triángulo equilátero cuya longitud de lado es de 6 unidades.

La fórmula para el área de un triángulo equilátero es:
A = (√3 / 4) × a²
A = (√3 / 4) × 6² = 9√3 unidades cuadradas.

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