Высоты и расстояния

Добро пожаловать в увлекательный мир приложения тригонометрии, известного как «высота и расстояние». Эта концепция представляет собой интересное использование тригонометрических отношений, которые мы используем для измерения высоты объекта или расстояния между двумя точками, особенно когда прямое измерение невозможно.

Представьте, что вы стоите и смотрите на высокое здание или гору. Если вы хотите вычислить его высоту, можете ли вы измерить ее, используя только линейку? Нет, конечно нет. Вот где вам помогает тригонометрия. Измеряя угол возвышения (или депрессии) и расстояние от наблюдательной точки до основания объекта, можно вычислить неизвестные расстояния или высоты.

Основные тригонометрические отношения

Прежде чем обсуждать высоты и расстояния, важно помнить некоторые основные тригонометрические концепции:

• Синус (&sin;): Представляет собой отношение противолежащей стороны к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.
• Косинус (&cos;): Представляет собой отношение прилежащей стороны к гипотенузе.
• Тангенс (&tan;): Представляет собой отношение прилежащей стороны к противолежащей стороне.

Ключевые термины в высотах и расстояниях

Взгляд

Это прямая линия, проведенная от глаза наблюдателя к наблюдаемому объекту.

Угол возвышения

Когда наблюдатель смотрит на объект наверх, угол, образуемый между линией взгляда и горизонтом, называется углом возвышения.

Угол возвышения, θ = tan-1 (противолежащая/прилежащая)

Угол депрессии

Напротив, угол депрессии — это угол, образуемый, когда наблюдатель смотрит на объект, расположенный ниже, с более высокого места.

Угол депрессии, θ = tan-1 (противолежащая/прилежащая)

Применение высот и расстояний

Знание того, как вычислить высоту и расстояние, полезно в реальных ситуациях, особенно в таких областях, как съемка местности, навигация, архитектура, лесоводство и даже авиация. Давайте рассмотрим некоторые примеры, чтобы укрепить наше понимание.

Пример 1: Вычисление высоты здания

Предположим, вы стоите в 50 м от здания. Вы измеряете угол возвышения от вершины здания как 30 градусов. Чтобы найти высоту здания, используйте отношение тангенса:

tan(θ) = противолежащая/прилежащая

Для 30 градусов, tan(30) = высота/50 

Высота = tan(30) × 50 

Сделаем расчет:

tan(30) ≈ 0.577

Высота = 0.577 × 50 = 28.85 м 

Таким образом, высота здания составляет примерно 28.85 метра.

Пример 2: Вычисление расстояния до объекта

Предположим, вы стоите на вершине маяка и смотрите на лодку в море. Высота маяка 90 м, а угол депрессии к лодке 45 градусов. Вычислите, как далеко лодка находится от основания маяка.

tan(θ) = противолежащая/прилежащая

Для 45 градусов, tan(45) = 90/расстояние 

Расстояние = 90/tan(45)

Поскольку tan(45) = 1:

Расстояние = 90 метров

Таким образом, лодка находится в 90 м от основания маяка.

Шаг за шагом

Повторение тех же шагов для задач, связанных с высотой и расстоянием, обеспечивает согласованность и точность.

1. Определите прямоугольный треугольник в задаче.
2. Укажите известные стороны и углы треугольника.
3. Выберите правильно тригонометрическое отношение (синус, косинус или тангенс).
4. Решите уравнение для неизвестной стороны или угла.
5. Выполните расчеты, чтобы найти высоту или расстояние по мере необходимости.

Пример 3: Вычисление высоты воздушного змея

Вы запускаете воздушного змея и стоите в 100 м от точки, где шнур касается земли. Шнур образует угол 60 градусов с землей. Рассчитайте высоту воздушного змея.

sin(θ) = противолежащая/гипотенуза

Здесь, гипотенуза = 100 (длина шнура)
Угол θ = 60 градусов

sin(60) = высота/100

Высота:

Высота = sin(60) × 100 

Поскольку sin(60) ≈ 0.866, 

Высота = 0.866 × 100 = 86.6 м

Таким образом, высота воздушного змея от земли составляет 86.6 м.

Заключение

Концепции высоты и расстояния демонстрируют, как окружающий нас мир можно понять, используя математический инструмент тригонометрию. Вооружившись несколькими углами и несколькими расстояниями, вы можете открыть для себя высоту гор или пространство, через которое светит маяк. С практикой становится интуитивно понятным интерпретировать повседневные пейзажи как задачи по высоте и расстоянию. Вы вооружились навыком, который улучшает вашу способность точно измерять и понимать большие масштабы мира.

комментарии