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ऊंचाइयां और दूरियां
त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग के अद्भुत विश्व में आपका स्वागत है, जिसे "ऊंचाई और दूरी" कहा जाता है। यह अवधारणा त्रिकोणमितीय अनुपातों का एक दिलचस्प उपयोग है, जिसका हम उपयोग वस्तु की ऊंचाई या दो बिंदुओं के बीच की दूरी को मापने के लिए करते हैं, विशेष रूप से जब सीधे मापना संभव नहीं होता है।
कल्पना कीजिए कि आप खड़े हैं और एक ऊंची इमारत या पहाड़ को देख रहे हैं। यदि आप इसकी ऊंचाई की गणना करना चाहते हैं, तो क्या आप इसे सिर्फ एक स्केल से माप सकते हैं? नहीं, बिल्कुल नहीं। यही वह जगह है जहां त्रिकोणमिति आपकी मदद करती है। दृष्टि के कोण (या अवनमन) और अवलोकन बिंदु से वस्तु के आधार तक की दूरी को मापकर, अज्ञात दूरी या ऊंचाइयों की गणना करना संभव है।
मौलिक त्रिकोणमितीय अनुपात
ऊंचाइयों और दूरियों पर चर्चा करने से पहले, कुछ मौलिक त्रिकोणमितीय अवधारणाओं को याद रखना महत्वपूर्ण है:
- साइन (साइन;): यह एक समकोण त्रिभुज में प्रतिकूल भुजा और विकर्ण के अनुपात को दर्शाता है।
- कोसाइन (कोस;): यह समीपवर्ती भुजा और विकर्ण के अनुपात को दर्शाता है।
- टैन्जेन्ट (टैन;): यह समीपवर्ती भुजा को प्रतिकूल भुजा के अनुपात को दर्शाता है।
ऊंचाइयों और दूरियों में प्रमुख शर्तें
दृष्टि
यह अवलोकनकर्ता की आंखों से देखी जा रही वस्तु तक खींची गई एक सीधी रेखा है।
उत्थापन कोण
जब एक अवलोकनकर्ता ऊपर की ओर किसी वस्तु को देखता है, तो दृष्टि रेखा और क्षैतिज के बीच बना कोण उत्थापन का कोण कहलाता है।
उत्थापन का कोण, θ = टैन-1 (विपरीत/समीपवर्ती)
अवनमन का कोण
इसके विपरीत, अवनमन का कोण उस समय बनने वाला कोण है जब अवलोकनकर्ता ऊपर की जगह से नीचे स्थित वस्तु को देखता है।
अवनमन का कोण, θ = टैन-1 (विपरीत/समीपवर्ती)
ऊंचाइयों और दूरियों के अनुप्रयोग
ऊंचाई और दूरी की गणना करना वास्तविक जीवन परिदृश्यों में उपयोगी होता है, खासकर जैसे क्षेत्रों में सर्वेक्षण, नेविगेशन, वास्तुकला, वानिकी, और यहां तक कि विमानन में। चलिए कुछ उदाहरणों पर नजर डालते हैं ताकि हमारी समझ में सुधार हो।
उदाहरण 1: इमारत की ऊंचाई की गणना करना
मान लीजिए कि आप एक इमारत से 50 मीटर दूर खड़े हैं। आप इमारत के शीर्ष से उत्थापन कोण को 30 डिग्री के रूप में मापते हैं। इमारत की ऊंचाई का पता लगाने के लिए टैन्जेन्ट अनुपात का उपयोग करें:
टैन(θ) = विपरीत/समीपवर्ती 30 डिग्री के लिए, टैन(30) = ऊंचाई/50 ऊंचाई = टैन(30) × 50 आइए गणना करें: टैन(30) ≈ 0.577 ऊंचाई = 0.577 × 50 = 28.85 मीटर
इसलिए, इमारत की ऊंचाई लगभग 28.85 मीटर है।
उदाहरण 2: वस्तु से दूरी की गणना
मान लीजिए कि आप एक प्रकाशस्तंभ के शीर्ष पर खड़े हैं और समुद्र में एक नाव को देख रहे हैं। प्रकाशस्तंभ की ऊंचाई 90 मीटर है, और नाव की ओर अवनमन कोण 45 डिग्री है। गणना करें कि नाव प्रकाशस्तंभ के आधार से कितनी दूर है।
टैन(θ) = विपरीत/समीपवर्ती 45 डिग्री के लिए, टैन(45) = 90/दूरी दूरी = 90/टैन(45) चूंकि टैन(45) = 1: दूरी = 90 मीटर
इसलिए, नाव प्रकाशस्तंभ के आधार से 90 मीटर दूर है।
चरण-दर-चरण दृष्टिकोण
ऊंचाई और दूरी की समस्याओं के लिए उन्हीं चरणों को दोहराने से निरंतरता और शुद्धता मिलती है।
- समस्या में समकोण त्रिभुज की पहचान करें।
- त्रिभुज के ज्ञात भुजा और कोण निर्धारित करें।
- उपयोग के लिए सही त्रिकोणमितीय अनुपात का चयन करें (साइन, कोसाइन या टैन्जेन्ट)।
- त्रिकोणमितीय समीकरण का प्रयोग करके अज्ञात भुजा या कोण का समाधान करें।
- आवश्यकतानुसार ऊंचाई या दूरी का पता लगाना।
उदाहरण 3: एक पतंग की ऊंचाई की गणना करना
आप एक पतंग उड़ा रहे हैं और 100 मीटर की दूरी पर खड़े हैं जहां डोर जमीन से मिलती है। डोर 60 डिग्री का कोण बनाता है। पतंग की ऊंचाई की गणना कीजिए।
साइन(θ) = विपरीत/विकर्ण यहां, विकर्ण = 100 (डोर की लंबाई) कोण θ = 60 डिग्री साइन(60) = ऊंचाई/100 ऊंचाई का समाधान: ऊंचाई = साइन(60) × 100 चूंकि साइन(60) ≈ 0.866, ऊंचाई = 0.866 × 100 = 86.6 मीटर
इसलिए, जमीन से पतंग की ऊंचाई 86.6 मीटर है।
निष्कर्ष
ऊंचाई और दूरी की अवधारणाएं यह प्रदर्शित करती हैं कि हमारे आसपास की दुनिया को त्रिकोणमिति के गणितीय उपकरण के माध्यम से कैसे समझा जा सकता है। कुछ कोण और कुछ दूरियों के साथ सुसज्जित होकर, आप पहाड़ों की ऊंचाई या वह विस्तार खोल सकते हैं जिसमें एक प्रकाशस्तंभ चमकता है। अभ्यास के साथ, यह सहज हो जाता है कि रोजमर्रा के परिदृश्यों को ऊंचाई और दूरी की समस्याओं की तरह व्याख्या करें। आपने अपने आप को उस कौशल से लैस कर लिया है जो आपकी दुनिया के विस्तार को सटीकता से मापने और समझने की क्षमता को बढ़ाता है।
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