Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Alturas y distancias


Bienvenido al fascinante mundo de la aplicación de la trigonometría conocida como "altura y distancia". Este concepto es un uso interesante de las razones trigonométricas, que usamos para medir la altura de un objeto o la distancia entre dos puntos, especialmente cuando la medición directa no es posible.

Imagina que estás de pie mirando un edificio alto o una montaña. Si quieres calcular su altura, ¿puedes medirla solo con una regla? No, absolutamente no. Aquí es donde la trigonometría te ayuda. Al medir el ángulo de elevación (o depresión) y la distancia desde el punto de observación hasta la base del objeto, es posible calcular distancias o alturas desconocidas.

Razones trigonométricas básicas

Antes de que discutamos alturas y distancias, es importante recordar algunos conceptos trigonométricos básicos:

  • Seno (&sin;): Representa la razón del lado opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.
  • Coseno (&cos;): Representa la razón del lado adyacente y la hipotenusa.
  • Tangente (&tan;): Representa la razón del lado adyacente al lado opuesto.

Términos clave en alturas y distancias

Línea de visión

Es una línea recta dibujada desde el ojo del observador hasta el objeto que se está observando.

Ángulo de elevación

Cuando un observador mira hacia un objeto hacia arriba, el ángulo formado entre la línea de visión y la horizontal se llama el ángulo de elevación.

Ángulo de elevación, θ = tan-1 (opuesto/adyacente)
Altura distancia supervisor θ

Ángulo de depresión

En contraste, el ángulo de depresión es el ángulo formado cuando un observador mira hacia un objeto ubicado abajo desde un lugar más alto.

Ángulo de depresión, θ = tan-1 (opuesto/adyacente)
Altura distancia supervisor θ

Aplicaciones de alturas y distancias

Conocer cómo calcular altura y distancia es útil en escenarios del mundo real, especialmente en áreas como la topografía, la navegación, la arquitectura, la silvicultura y hasta la aviación. Veamos algunos ejemplos para fortalecer nuestra comprensión.

Ejemplo 1: Calcular la altura de un edificio

Supón que estás a 50 m de distancia de un edificio. Mides el ángulo de elevación desde la parte superior del edificio a 30 grados. Para encontrar la altura del edificio, usa la razón tangente:

tan(θ) = opuesto/adyacente

Para 30 grados, tan(30) = altura/50 

Altura = tan(30) × 50 

Hagamos el cálculo:

tan(30) ≈ 0.577

Altura = 0.577 × 50 = 28.85 m

Por lo tanto, la altura del edificio es aproximadamente 28.85 metros.

Ejemplo 2: Calcular distancia a un objeto

Supón que estás en lo alto de un faro y viendo un bote en el mar. La altura del faro es de 90 m, y el ángulo de depresión hacia el bote es de 45 grados. Calcula cuán lejos está el bote de la base del faro.

tan(θ) = opuesto/adyacente

Para 45 grados, tan(45) = 90/distancia 

Distancia = 90/tan(45)

Como tan(45) = 1:

Distancia = 90 metros

Por lo tanto, el bote está a 90 m de la base del faro.

Enfoque paso a paso

Repetir los mismos pasos para problemas que involucran altura y distancia logra consistencia y exactitud.

  1. Identificar el triángulo rectángulo en el problema.
  2. Determinar los lados y ángulos conocidos del triángulo.
  3. Seleccionar la razón trigonométrica correcta para usar (seno, coseno o tangente).
  4. Resolver el lado o ángulo desconocido utilizando la ecuación trigonométrica.
  5. Realizar cálculos para encontrar la altura o distancia según sea necesario.

Ejemplo 3: Calcular la altura de una cometa

Estás volando una cometa y de pie a 100 m desde el punto donde la cuerda toca el suelo. La cuerda forma un ángulo de 60 grados con el suelo. Calcula la altura de la cometa.

sin(θ) = opuesto/hipotenusa

Aquí, hipotenusa = 100 (longitud de la cuerda)
Ángulo θ = 60 grados

sin(60) = altura/100

Solución de Altura:

Altura = sin(60) × 100 

Como sin(60) ≈ 0.866, 

Altura = 0.866 × 100 = 86.6 m

Por lo tanto, la altura de la cometa desde el suelo es de 86.6 m.

Conclusión

Los conceptos de altura y distancia demuestran cómo el mundo que nos rodea puede ser entendido usando la herramienta matemática de la trigonometría. Armado con unos pocos ángulos y unas pocas distancias, puedes desbloquear la altura de montañas o la extensión a través de la cual un faro ilumina. Con la práctica, se vuelve intuitivo interpretar los paisajes cotidianos como problemas de altura y distancia. Te has armado con una habilidad que mejora tu capacidad de medir con precisión y entender la gran escala del mundo.


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