Класс 10 → Тригонометрия → Высоты и расстояния ↓
Понимание углов возвышения и снижения
Тригонометрия — это увлекательная ветвь математики, изучающая взаимосвязи между сторонами и углами треугольников. Очень практическое применение тригонометрии — это измерение высот и расстояний, особенно при рассмотрении углов возвышения и снижения. Этот предмет не только помогает решать жизненные задачи, но и углубляет наше понимание пространственных взаимосвязей.
Что такое угол возвышения?
Представьте себе, что вы стоите на земле и смотрите на объект, например, на вершину дерева, башни или горы. Угол возвышения — это угол между горизонтальной линией от глаза наблюдателя и объектом. Это угол, под которым человеку нужно «поднять» глаза, чтобы увидеть вершину объекта с места, где он находится.
Рассмотрим следующий сценарий:
A (вершина дерева)
,
,
H / |
,
,
θ /_____|
/e (уровень глаз или горизонтальная линия)
B
в этом случае:
- A — вершина дерева.
- B — точка, где вы стоите.
- E — ваш уровень глаз или горизонтальная линия из точки наблюдения.
Линия AB представляет высоту (h), которую вы хотите измерить. Угол θ между линией BE (вашей линией зрения) и горизонтальной линией — это угол возвышения.
Что такое угол снижения?
Теперь обсудим угол снижения. Предположим, вы стоите на верхушке маяка и смотрите вниз на лодку в море. Угол снижения — это угол между горизонтальной линией от глаза наблюдателя и объектом внизу.
Рассмотрим следующий сценарий:
A (уровень глаз человека на вершине маяка)
,
,
,
,
| θ
_____B (лодка)
D (горизонтальная линия от уровня глаз наблюдателя)
В этой иллюстрации:
- A — уровень глаз человека на вершине маяка.
- B — это лодка в море.
- D представляет собой горизонтальную линию, проведённую параллельно линии, идущей от глаз человека.
Угол θ называется углом снижения. Важно знать, что когда две параллельные линии пересекаются секущей, угол возвышения с точки зрения наблюдателя равен углу снижения с линии зрения благодаря попеременным внутренним углам.
Понимание через простые математические формулы
Чтобы вычислить высоту объекта, используя углы возвышения и снижения, мы часто используем тригонометрические отношения. Наиболее распространенные тригонометрические функции — это синус (sin), косинус (cos) и тангенс (tan). В задачах, связанных с высотой и расстоянием, чаще всего используется отношение tan θ, поскольку оно связывает противоположную сторону (высоту) с прилегающей стороной (расстоянием) в прямоугольном треугольнике:
Тангенс угла = противоположная сторона / прилегающая сторона
tan θ = h/d
Где:
θ— это угол возвышения или снижения.h— это высота (или глубина в случае снижения) объекта.d— это расстояние от наблюдателя до основания объекта.
Пример 1: Угол возвышения
Решим практическую задачу, используя угол возвышения:
Вопрос: Человек, стоящий в 50 м от дерева, видит вершину дерева под углом возвышения 30°. Какая высота этого дерева?
Решение:
- Определите заданные значения:
расстояние (d) = 50м,угол возвышения (θ) = 30°. - Используйте формулу тангенса угла возвышения:
tan θ = противолежащая сторона / прилежащая сторона
tan 30° = h / 50
- Поскольку
tan 30° = 1/√3, подставляем данные:1/√3 = h / 50
- Решите уравнение для
h(высота дерева):h = 50 / √3 ≈ 28.87 м
Высота дерева составляет приблизительно 28.87 метра.
Пример 2: Угол снижения
Теперь рассмотрим задачу, связанную с углом снижения:
Задача: Человек на высоте 60 м в маяке видит лодку, находящуюся на горизонтальном расстоянии 80 м от основания маяка. Каков угол снижения по отношению к лодке?
Решение:
- Определите заданные значения:
высота (h) = 60м,расстояние (d) = 80м. - Используйте формулу тангенса угла снижения:
tan θ = h / d
tan θ = 60 / 80
- Упрощение:
tan θ = 0.75
- Найдите
θ, используя функцию arctan:θ = arctan(0.75) ≈ 36.87°
Угол снижения составляет около 36.87°.
Почему углы возвышения и снижения имеют значение?
Понятия углов возвышения и снижения важны в реальном мире, поскольку они помогают нам измерять недоступные дистанции и высоты. Архитекторы, инженеры, авиаторы и моряки часто используют эти вычисления для решения практических задач.
Например, при строительстве высокого здания его высота часто измеряется с расстояния, используя угол возвышения. Точно так же навигаторы используют угол снижения для определения расстояния наблюдаемых объектов с точки обзора, такой как маяк.
Дополнительные примеры упражнений
Чтобы лучше понять, давайте решим ещё несколько примеров:
Пример 3: Угол возвышения
Ситуация: Лестница опирается на стену таким образом, что ее верхушка достигает окна на высоте 7 м от земли, а угол возвышения составляет 45°. Как далеко находится основание лестницы от стены?
задано:
Противолежащая сторона (высота) = 7 м,
Угол возвышения (θ) = 45°
Мы используем формулу:
tan θ = противоположный/adjacent
Tan 45° = 7 / day
Поскольку tan 45° = 1, получаем:
1 = 7 / day
d = 7
Основание лестницы находится на расстоянии 7 м от стены.
Пример 4: Угол снижения
Ситуация: С вершины здания высотой 50 м угол снижения до машины, припаркованной рядом с зданием, составляет 60°. На каком расстоянии от основания здания находится машина?
задано:
Высота здания (h) = 50 м,
Угол снижения (θ) = 60°
Мы используем формулу:
tan θ = h / d
Tan 60° = 50 / day
Поскольку tan 60° = √3, рассчитываем:
√3 = 50 / day
d = 50 / √3 ≈ 28.87 м
Машина находится на расстоянии примерно 28.87 метра от основания здания.
Заключение
Углы возвышения и снижения имеют решающее значение для понимания того, как мы можем рассчитывать высоту и расстояние, используя тригонометрию. Освоив эти понятия, вы сможете эффективно решать многие задачи реального мира в области геометрии. Продолжайте практиковаться в различных сценариях, чтобы глубже понять, как работают эти углы, и вам будет намного легче иметь дело с различными тригонометрическими приложениями в вашей повседневной жизни или будущей профессии.
комментарии