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ऊँचाई और अवसाद के कोणों को समझना
त्रिकोणमिति गणित की एक रोमांचक शाखा है जो त्रिभुज के भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों का अध्ययन करती है। त्रिकोणमिति का एक बहुत ही व्यावहारिक अनुप्रयोग ऊँचाइयों और दूरियों की माप के क्षेत्र में है, विशेष रूप से जब यह ऊँचाई और अवसाद कोणों से संबंधित होता है। यह विषय न केवल हमें वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने में मदद करता है बल्कि स्थानिक संबंधों की हमारी समझ को भी बढ़ाता है।
ऊँचाई का कोण क्या है?
कल्पना करें कि आप ज़मीन पर खड़े हैं और किसी वस्तु, जैसे कि पेड़ की चोटी, टॉवर, या पर्वत देख रहे हैं। ऊँचाई का कोण वह कोण होता है जो पर्यवेक्षक की आंख से वस्तु तक क्षैतिज रेखा के बीच होता है। यह वह कोण होता है जो किसी को वस्तु की चोटी को देखने के लिए अपनी आंखें "ऊपर उठाने" की आवश्यकता होती है।
निम्नलिखित परिदृश्य पर विचार करें:
A (पेड़ की चोटी)
,
,
H / |
,
,
θ /_____|
/e (आंख का स्तर या क्षैतिज रेखा)
B
इस उदाहरण में:
- A पेड़ की चोटी है।
- B वह बिंदु है जहाँ आप खड़े हैं।
- E आपका आंख स्तर या अवलोकन बिंदु से क्षैतिज रेखा है।
रेखा AB वह ऊँचाई (h) का प्रतिनिधित्व करती है जिसे आप मापना चाहते हैं। रेखा BE (आपकी दृष्टि की रेखा) और क्षैतिज रेखा के बीच का कोण ऊँचाई का कोण है।
अवसाद का कोण क्या है?
अब, आइए अवसाद के कोण पर चर्चा करें। मान लीजिए कि आप एक प्रकाशस्तंभ की चोटी पर खड़े हैं और समुद्र में एक नाव को देख रहे हैं। अवसाद का कोण वह कोण होता है जो पर्यवेक्षक की आंख से वस्तु तक क्षैतिज रेखा के बीच होता है।
निम्नलिखित परिदृश्य पर विचार करें:
A (व्यक्ति की आंख का स्तर प्रकाशस्तंभ की चोटी पर)
,
,
,
,
| θ
_____B (नाव)
D (पर्यवेक्षक की आंख के स्तर की क्षैतिज रेखा)
इस चित्रण में:
- A उस व्यक्ति की आंख का स्तर है जो प्रकाशस्तंभ की चोटी पर है।
- B समुद्र में एक नाव है।
- D एक क्षैतिज रेखा है जो व्यक्ति की आंखों से आने वाली रेखा के समानांतर खींची गई है।
कोण θ अवसाद का कोण कहलाता है। यह जानना महत्वपूर्ण है कि जब दो समानांतर रेखाओं को एक अनुप्रस्थ काटती है, तो पर्यवेक्षक के दृष्टिकोण से ऊँचाई का कोण दृष्टि की रेखा से अवसाद के कोण के बराबर होता है क्योंकि वैकल्पिक आंतरिक कोण।
सरल गणितीय सूत्रों के माध्यम से समझना
ऊँचाई और अवसाद के कोणों का उपयोग करके किसी वस्तु की ऊँचाई की गणना करने के लिए, हम अक्सर त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करते हैं। सबसे आम त्रिकोणमितीय अनुपात साइन (sin), कोसाइन (cos), और टैन्जेंट (tan) हैं। ऊँचाई और दूरी से संबंधित समस्याओं में, tan θ अनुपात का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है क्योंकि यह एक समकोण त्रिभुज में विपरीत दिशा (ऊँचाई) को सन्निकट दिशा (दूरी) से संबंधित करता है:
कोण का टैन्जेंट = विपरीत दिशा / सन्निकट दिशा
tan θ = h/d
जहां:
θऊँचाई या अवसाद का कोण है।hवस्तु की ऊँचाई (या अवसाद के मामले में गहराई) है।dपर्यवेक्षक से वस्तु के आधार की दूरी है।
उदाहरण 1: ऊँचाई का कोण
ऊँचाई के कोण का उपयोग करके एक व्यावहारिक समस्या को हल करें:
प्रश्न: एक व्यक्ति जो एक पेड़ से 50 मीटर दूर खड़ा है, 30° के ऊँचाई के कोण पर पेड़ की चोटी देखता है। पेड़ की ऊँचाई कितनी है?
समाधान:
- दिए गए मानों की पहचान करें:
दूरी (d) = 50m,ऊँचाई का कोण (θ) = 30°. - ऊँचाई के कोण के टैन्जेंट के लिए फार्मूला का उपयोग करें:
tan θ = विपरीत दिशा / सन्निकट दिशा
tan 30° = h / 50
- चूंकि
tan 30° = 1/√3, प्रतिस्थापन करने पर मिलता है:1/√3 = h / 50
h(पेड़ की ऊँचाई) के लिए हल करें:h = 50 / √3 ≈ 28.87 m
पेड़ की ऊँचाई लगभग 28.87 मीटर है।
उदाहरण 2: अवसाद का कोण
अब, आइए अवसाद के कोण वाली समस्या पर विचार करें:
समस्या: एक व्यक्ति जो 60 मीटर की ऊँचाई पर एक प्रकाशस्तंभ में है, एक नाव को निचली दूरी पर 80 मीटर देखता है। नाव की ओर अवसाद का कोण कितना है?
समाधान:
- दिए गए मानों की पहचान करें:
ऊँचाई (h) = 60m,दूरी (d) = 80m. - अवसाद के कोण के टैन्जेंट के लिए फार्मूला का उपयोग करें:
tan θ = h / d
tan θ = 60 / 80
- सरलीकरण:
tan θ = 0.75
- आर्कटैन फ़ंक्शन का उपयोग करके
θज्ञात करें:θ = arctan(0.75) ≈ 36.87°
अवसाद का कोण लगभग 36.87° है।
ऊँचाई और अवसाद का कोण क्यों महत्वपूर्ण हैं?
ऊँचाई और अवसाद के कोण के अवधारणाएं वास्तविक दुनिया में आवश्यक हैं क्योंकि वे हमें अलभ्य दूरी और ऊँचाइयों को मापने में मदद करती हैं। वास्तुकार, इंजीनियर, विमानन विशेषज्ञ, और नाविक अक्सर इन गणनाओं का उपयोग वास्तविक समस्याएं हल करने के लिए करते हैं।
उदाहरण के लिए, जब एक ऊँची इमारत बनाई जाती है, तो उसकी ऊँचाई अक्सर दूरी से ऊँचाई के कोण का उपयोग करके मापी जाती है। इसी प्रकार, नाविकों को अवलोकन के एक स्थान से, जैसे कि प्रकाशस्तंभ से, देखे गए वस्तुओं की दूरी ज्ञात करने के लिए अवसाद के कोण का उपयोग करते हैं।
अतिरिक्त अभ्यास उदाहरण
और अधिक समझने के लिए, आइए कुछ और उदाहरण हल करें:
उदाहरण 3: ऊँचाई का कोण
स्थिति: एक सीढ़ी एक दीवार के खिलाफ टिकी है ताकि उसकी चोटी ज़मीन से 7 मीटर ऊपर एक खिड़की तक पहुँचती है, और ऊँचाई का कोण 45° है। सीढ़ी का आधार दीवार से कितनी दूर है?
दिया गया:
विपरीत दिशा (ऊँचाई) = 7 मीटर,
ऊँचाई का कोण (θ) = 45°
हम फार्मूला का उपयोग करते हैं:
tan θ = विपरीत/सन्निकट
Tan 45° = 7 / d
चूंकि tan 45° = 1, हमें मिलता है:
1 = 7 / d
d = 7
सीढ़ी का आधार दीवार से 7 मीटर की दूरी पर है।
उदाहरण 4: अवसाद का कोण
स्थिति: 50 मीटर ऊँची इमारत के शीर्ष से, इमारत के बगल में खड़ी एक कार का अवसाद कोण 60° है। कार इमारत के आधार से कितनी दूर है?
दिया गया:
इमारत की ऊँचाई (h) = 50 मीटर,
अवसाद का कोण (θ) = 60°
हम फार्मूला का उपयोग करते हैं:
tan θ = h / d
Tan 60° = 50 / d
चूंकि tan 60° = √3, हम गणना करते हैं:
√3 = 50 / d
d = 50 / √3 ≈ 28.87 m
कार इमारत के आधार से लगभग 28.87 मीटर दूर है।
निष्कर्ष
ऊँचाई और अवसाद के कोण समझने में महत्वपूर्ण हैं कि हम त्रिकोणमिति का उपयोग करके ऊँचाई और दूरी की गणना कैसे कर सकते हैं। इन अवधारणाओं को मास्टर करके, आप न केवल कई वास्तविक दुनिया के ज्यामिति समस्याओं को कुशलता से हल कर सकते हैं बल्कि अपने दैनिक जीवन या भविष्य के करियर क्षेत्रों में विभिन्न त्रिकोणमितीय अनुप्रयोगों से निपटने के लिए भी आसान बन जाते हैं। विभिन्न परिदृश्यों के साथ अभ्यास करते रहें ताकि आप इन कोणों को कैसे काम करते हैं समझ सकें।
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