कक्षा 10 → त्रिकोणमिति ↓
त्रिकोणमितीय पहचान
त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो त्रिभुजों के भुजाओं और कोणों के बीच के संबंध का अध्ययन करती है। यह एक विषय है जो आपको कक्षा 10 गणित में मिलेगा। त्रिकोणमिति के सबसे आकर्षक भागों में से एक त्रिकोणमितीय पहचान के रूप में जाने जाने वाले नियमों का सेट है। ये पहचान कई बीजगणितीय भावों को सरल बना सकती हैं और विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल कर सकती हैं, विशेष रूप से वे जो समकोण त्रिभुजों से संबंधित होती हैं।
त्रिकोणमितीय पहचान को समझना
अपने मूल रूप में, एक त्रिकोणमितीय पहचान एक समानता है जो सभी कोणों के मूल्यों के लिए सही है - बशर्ते समीकरण के दोनों पक्ष परिभाषित हों। ये पहचान गणित में अनमोल उपकरण हैं क्योंकि वे हमें त्रिकोणमितीय भावों को विभिन्न तरीकों से पुनः लिखने की अनुमति देती हैं।
त्रिकोणमितीय पहचानें क्यों महत्वपूर्ण हैं?
त्रिकोणमितीय पहचानें कई गणितीय स्थितियों में उपयोगी हैं:
- जटिल त्रिकोणमितीय भावों को सरल बनाना।
- त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना।
- अन्य गणितीय वक्तव्यों या पहचानों को सिद्ध करना।
- भौतिकी में तरंगों और दोलनों का विश्लेषण करना।
- कोणों से जुड़े गणनों के लिए इंजीनियरिंग और कंप्यूटर ग्राफिक्स।
मूलभूत त्रिकोणमितीय फलन
पहचानों में गहरे उतरने से पहले, आइए समकोण त्रिभुजों पर आधारित मूलभूत त्रिकोणमितीय फलनों को याद करें। इनमें शामिल हैं:
___________________
|
|
|
hypotenuse
|
|
|
|
|
|adjacent
opposite |
_________________|
प्राथमिक फलन निम्नानुसार परिभाषित किए जाते हैं:
- साइन (sin θ) = विपरीत/कर्ण
- कोसाइन (cos θ) = निकटवर्ती / कर्ण
- स्पर्श रेखा (tan θ) = विपरीत/निकटवर्ती
इनसे प्राप्त व्युत्क्रम फलन भी हैं:
- कोसेकेंट (csc θ) = 1/sin θ = कर्ण/विपरीत
- सेकेंट (sec θ) = 1/cos θ = कर्ण/निकटवर्ती
- कोटजेंट (cot θ) = 1/tan θ = निकटवर्ती/विपरीत
मूलभूत त्रिकोणमितीय पहचान
पाइथागोरियन पहचान
ये पाइथागोरियन प्रमेय पर आधारित होती हैं और त्रिकोणमिति की कुछ सबसे महत्वपूर्ण पहचान हैं:
sin² θ + cos² θ = 11 + tan² θ = sec² θ1 + cot² θ = csc² θये समीकरण किसी भी कोण θ के लिए सत्य हैं।
भागफल पहचान
भागफल पहचान साइन और कोसाइन के संदर्भ में स्पर्श रेखा और कोटजेंट को व्यक्त करते हैं:
tan θ = sin θ / cos θcot θ = cos θ / sin θव्युत्क्रम पहचान
ये पहचान त्रिकोणमितीय फलनों को उनके प्रतिलोम के साथ जोड़ती हैं:
sin θ = 1 / csc θcos θ = 1 / sec θtan θ = 1 / cot θcsc θ = 1 / sin θsec θ = 1 / cos θcot θ = 1 / tan θमूलभूत त्रिकोणमितीय पहचानों का दृश्यावलोकन
इन पहचानों को मौलिक त्रिकोणमितीय संबंधों का उपयोग कर एक इंटरैक्टिव उदाहरण के माध्यम से विज़ुअलाइज़ करें।
sin θ
cos θ
1
इस इकाई वृत्त आरेख में, sin θ और cos θ दिखाए गए हैं। कर्ण वृत्त की त्रिज्या है - यह हमारे इकाई वृत्त में हमेशा 1 होता है, जो गणनाओं को सरल बनाता है।
संघर्ष के साथ काम: उदाहरण
आइए देखें कि हम इन पहचानों का उपयोग विशिष्ट उदाहरणों के साथ कैसे कर सकते हैं:
उदाहरण 1: त्रिकोणमितीय भावों को सरल बनाना
भाव पर विचार करें: 1 - sin² θ पाइथागोरियन पहचान का उपयोग करके:
sin² θ + cos² θ = 1हम इसे निम्नलिखित में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:
cos² θ = 1 - sin² θइस प्रकार, 1 - sin² θ = cos² θ
उदाहरण 2: एक पहचान साबित करना
साबित करें कि tan θ * sec θ = sin θ।
समीकरण के बाएँ पक्ष से शुरुआत करें और इसे विभाजित करें:
tan θ * sec θ = (sin θ / cos θ) * (1 / cos θ) = sin θ / cos² θअब पाइथागोरियन पहचान पर विचार करें:
cos² θ = 1 - sin² θइस प्रकार:
sin θ / cos² θ = sin θतो, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि tan θ * sec θ = sin θ। पहचान की पुष्टि हो गई!
उदाहरण 3: त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान
अब हम पहचानों का उपयोग करके एक सरल त्रिकोणमितीय समीकरण हल करते हैं। θ के लिए sec θ - 1 = 0 हल करें।
cos θ के संदर्भ में sec θ को व्यक्त करने से शुरू करें:
sec θ = 1 / cos θइसलिए, समीकरण बन जाता है:
1 / cos θ - 1 = 0जो प्रभाव डालता है:
1 / cos θ = 1यह समीकरण इस प्रकार है:
cos θ = 1इस प्रकार, θ 0° या 360°, या 360° का कोई भी गुणज हो सकता है, जहां कोसाइन फंक्शन 1 होता है।
अभ्यास समस्याएं
त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके इन समस्याओं को हल करने का प्रयास करें:
- सरल बनाएं: syn² θ + cos² θ + tan² θ / sec² θ
- θ के लिए हल करें: tan² θ - sec² θ = -1
- सिद्ध करें: csc² θ - cot² θ = 1
- सरल बनाएं: 1 + cot² θ / csc² θ
- यदि 2sin θ cos θ = sin 2θ तो θ खोजें
निष्कर्ष
त्रिकोणमितीय पहचान शक्तिशाली गणितीय उपकरण हैं जो भावों को सरल बनाने, समीकरणों को हल करने और त्रिकोणमितीय फलनों के रूपांतरण की अनुमति देते हैं। इन पहचानों को समझना और उनका उपयोग करना आपकी समस्या सुलझाने की क्षमता को गणित और प्रयुक्त विज्ञानों दोनों में बहुत बढ़ा सकता है। जैसे-जैसे आप इन पहचानों का अध्ययन जारी रखते हैं, नियमित रूप से अभ्यास करें और स्वयं को कई तरह की समस्याओं से चुनौती दें ताकि त्रिकोणमिति की अच्छी समझ विकसित हो सके।
टिप्पणियाँ