त्रिकोणमितीय अनुपात

त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो त्रिकोणों के पक्षों और कोणों के बीच संबंधों का अध्ययन करती है। यह गणित, भौतिकी, इंजीनियरिंग और विभिन्न क्षेत्रों में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है जहां कोणों और दूरियों का मापन आवश्यक होता है। त्रिकोणमिति में सबसे मौलिक अवधारणाओं में से एक है त्रिकोणमितीय अनुपात।

त्रिकोणमितीय अनुपात को समझना

दाएं कोण वाले त्रिभुज में तीन भुजाएँ होती हैं:

• कर्ण: यह दाएं कोण के सामने वाली भुजा होती है, और यह त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा होती है।
• विपरीत भुजा (किसी कोण की): वह भुजा जो हम जिस कोण पर विचार कर रहे हैं उसके विपरीत होती है।
• सन्निकट भुजा (किसी कोण की): वह भुजा जो हम जिस कोण पर विचार कर रहे हैं उसकी बगल में होती है, कर्ण को छोड़कर।

छह त्रिकोणमितीय अनुपात

मुख्य त्रिकोणमितीय अनुपात दाएं कोण वाले त्रिभुज में तेज कोणों के सापेक्ष परिभाषित किए जाते हैं। छह त्रिकोणमितीय अनुपात हैं:

1. साइन (sin)

किसी कोण का साइन विपरीत भुजा की लंबाई का कर्ण के साथ अनुपात होता है।

sin θ = विपरीत / कर्ण

उदाहरण के लिए, एक दाएं कोण वाले त्रिभुज पर विचार करें जिसमें एक कोण को θ के रूप में चिह्नित किया गया है:

यदि विपरीत भुजा 3 इकाई है और कर्ण 5 इकाई है:

sin θ = 3 / 5 = 0.6

2. कोसाइन (cos)

किसी कोण का कोसाइन सन्निकट भुजा की लंबाई का कर्ण के साथ अनुपात होता है।

cos θ = सन्निकट / कर्ण

उसी त्रिभुज उदाहरण में:

cos θ = 4 / 5 = 0.8

3. टैन्जेंट (tan)

किसी कोण का टैन्जेंट विपरीत भुजा की लंबाई का सन्निकट भुजा की लंबाई के साथ अनुपात होता है।

tan θ = विपरीत / सन्निकट

आपका उदाहरण जारी रखते हुए:

tan θ = 3 / 4 = 0.75

विपरीत त्रिकोणमितीय अनुपात

तीन विपरीत त्रिकोणमितीय अनुपात भी होते हैं:

4. कोसेकेन्ट (csc)

किसी कोण का कोसेकेन्ट साइन का विपरीत होता है। यह कर्ण और विपरीत भुजा का अनुपात होता है।

csc θ = 1/sin θ = कर्ण / विपरीत

तो हमारे उदाहरण में:

csc θ = 5 / 3 ≈ 1.67

5. सेकेंड (sec)

किसी कोण का सेकेंड कोण कोसाइन का विपरीत होता है। यह कर्ण और सन्निकट भुजा का अनुपात होता है।

sec θ = 1/cos θ = कर्ण / सन्निकट

हमारे उदाहरण से:

sec θ = 5 / 4 = 1.25

6. कोटैन्जेंट (cot)

किसी कोण का कोटैन्जेंट टैन्जेंट का विपरीत होता है। यह सन्निकट भुजा और विपरीत भुजा का अनुपात होता है।

cot θ = 1/tan θ = सन्निकट / विपरीत

हमारे उदाहरण का उपयोग करें:

cot θ = 4 / 3 ≈ 1.33

त्रिकोणमितीय अनुपात याद रखने का सूत्र

त्रिकोणमितीय अनुपातों को याद रखने के लिए एक लोकप्रिय सूत्र "SOH-CAH-TOA" है:

• SOH: साइन = विपरीत / कर्ण
• CAH: कोसाइन = सन्निकट / कर्ण
• TOA: टैन्जेंट = विपरीत / सन्निकट

उदाहरण समस्याएँ

उदाहरण 1:

एक सीढ़ी दीवार के खिलाफ लगी है। सीढ़ी का तल दीवार से 4 मीटर दूर है और यह दीवार पर 3 मीटर की ऊँचाई तक पहुँचती है। सीढ़ी जमीन के साथ कौन सा कोण बनाती है?

समाधान:

यहां, हम टैन्जेंट अनुपात का उपयोग कर सकते हैं:

tan θ = विपरीत / सन्निकट = 3 / 4

कैलकुलेटर का उपयोग करें θ ≈ tan -1 (0.75) ≈ 36.87°।

उदाहरण 2:

दाएं कोण वाले त्रिभुज का कर्ण 13 इकाई है, और इसके कोणों में से एक 30° है। विपरीत और सन्निकट भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें।

समाधान:

• sin(30°) का उपयोग करके:

  sin(30°) = Opposite / 13 = 0.5

  विपरीत = 0.5 × 13 = 6.5

• cos(30°) का उपयोग करके:

  cos(30°) = Adjacent / 13 ≈ 0.866

  सन्निकट = 0.866 × 13 ≈ 11.26

अधिक दृश्यों के साथ समझना

θ कोण के साथ एक दाएं कोण वाले त्रिभुज का निम्नलिखित चित्रण विचार करें:

θ के लिए, त्रिकोणमितीय अनुपात अक्सर तीन प्रमुख पक्ष संबंधों को व्यक्त करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। साइन, कोसाइन और टैन्जेंट अनुपात त्रिकोणमिति में विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए मौलिक रूप से महत्वपूर्ण हैं।

त्रिकोणमितीय अनुपात के अनुप्रयोग

त्रिकोणमितीय अनुपात के कई अनुप्रयोग होते हैं, जो रोज़मर्रा की गतिविधियों में व्यावहारिक कार्यों से विभिन्न क्षेत्रों में जटिल समस्याओं को हल करने तक फैले होते हैं:

• सर्वेक्षण: दूरस्थ वस्तुओं के बीच की दूरी मापने के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग किया जाता है। दूरी को कोणों के साथ मिलाकर विभिन्न मापदंडों को निर्धारित करने में मदद मिलती है।
• नेविगेशन: त्रिकोणमिति वक्रों और कोणों के चारों ओर नेविगेट करने में मदद करती है। यह मार्ग योजना, जहाज निर्माण और उड्डयन उद्योगों में पथों को निर्धारित करने और पदों को खोजने के लिए उपयोग की जाती है।
• आर्किटेक्चर और इंजीनियरिंग: यह इमारतों, पुलों और अन्य संरचनाओं को डिजाइन करने में, ऊँचाइयों, बलों और भारों को निर्धारित करने में मदद करता है।

निष्कर्ष

त्रिकोणमितीय अनुपात त्रिकोणमिति का एक प्रमुख घटक हैं। इन अनुपातों का उपयोग करके, दाएं त्रिभुज के कोणों और भुजाओं की लंबाई के बीच के संबंधों का उपयोग करके, ये कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में मदद करते हैं। साइन, कोसाइन, टैन्जेंट और इनके उलटे का समझना गणित और विज्ञान में आगे की पढ़ाई के लिए आधारभूत होता है।

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