Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Relaciones trigonométricas


La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos. Juega un papel importante en muchos aspectos de las matemáticas, la física, la ingeniería y varios campos donde la medición de ángulos y distancias es necesaria. Uno de los conceptos más fundamentales en trigonometría es la razón trigonométrica.

Comprendiendo las relaciones trigonométricas

Los tres lados en un triángulo rectángulo son:

  • Hipotenusa: El lado opuesto al ángulo recto, y es el lado más largo del triángulo.
  • Lado opuesto (de un ángulo): El lado que está opuesto al ángulo que estamos considerando.
  • Lado adyacente (de un ángulo): El lado que está junto al ángulo que estamos considerando, excluyendo la hipotenusa.

Seis razones trigonométricas

Las principales razones trigonométricas se definen con respecto a los ángulos agudos en un triángulo rectángulo. Las seis razones trigonométricas son:

1. Seno (sen)

El seno de un ángulo es la razón de la longitud del lado opuesto a la hipotenusa.

sen θ = Opuesto / Hipotenusa

Por ejemplo, considere un triángulo rectángulo con uno de los ángulos marcado como θ:

cerca Antónimo Oído

Si el lado opuesto es de 3 unidades y la hipotenusa es de 5 unidades:

sen θ = 3 / 5 = 0.6

2. Coseno (cos)

El coseno de un ángulo es la razón de la longitud del lado adyacente a la hipotenusa.

cos θ = Adyacente / Hipotenusa

En el mismo ejemplo de triángulo:

cos θ = 4 / 5 = 0.8

3. Tangente (tan)

La tangente de un ángulo es la razón de la longitud del lado opuesto a la longitud del lado adyacente.

tan θ = Opuesto / Adyacente

Continuando con nuestro ejemplo:

tan θ = 3 / 4 = 0.75

Razones trigonométricas recíprocas

También hay tres razones trigonométricas recíprocas:

4. Cosecante (csc)

La cosecante de un ángulo es el recíproco del seno. Es la razón de la hipotenusa y el lado opuesto.

csc θ = 1/sen θ = Hipotenusa / Opuesto

Entonces, en nuestro ejemplo:

csc θ = 5 / 3 ≈ 1.67

5. Secante (sec)

La secante de un ángulo es la inversa del coseno del ángulo. Es la razón de la hipotenusa y el lado adyacente.

sec θ = 1/cos θ = Hipotenusa / Adyacente

De nuestro ejemplo:

sec θ = 5 / 4 = 1.25

6. Cotangente (cot)

La cotangente de un ángulo es el recíproco de la tangente. Es la razón del lado adyacente al lado opuesto.

cot θ = 1/tan θ = Adyacente / Opuesto

Usa nuestro ejemplo:

cot θ = 4 / 3 ≈ 1.33

Mnemotecnia para recordar razones trigonométricas

Una mnemotecnia popular para recordar razones trigonométricas es "SOH-CAH-TOA":

  • SOH: Seno = opuesto / hipotenusa
  • CAH: Coseno = adyacente / hipotenusa
  • TOA: Tangente = opuesto/adyacente

Problemas de ejemplo

Ejemplo 1:

Una escalera descansa contra una pared. La parte inferior de la escalera está a 4 m de la pared, y alcanza una altura de 3 m en la pared. ¿Qué ángulo hace la escalera con el suelo?

Solución:

Aquí, podemos usar la razón tangente:

tan θ = Opuesto / Adyacente = 3 / 4

Usa una calculadora para encontrar θ ≈ tan -1 (0.75) ≈ 36.87°.

Ejemplo 2:

La hipotenusa de un triángulo rectángulo es de 13 unidades, y uno de sus ángulos es 30°. Encuentra la longitud de los lados opuesto y adyacente.

Solución:

  • Usando sen(30°):
    sen(30°) = Opuesto / 13 = 0.5

    Opuesto = 0.5 × 13 = 6.5

  • Usando cos(30°):
    cos(30°) = Adyacente / 13 ≈ 0.866

    Adyacente = 0.866 × 13 ≈ 11.26

Comprendiendo con más visuales

Considere la siguiente representación de un triángulo rectángulo con ángulo θ:

θ cerca Antónimo Oído

Para θ, las razones trigonométricas se utilizan a menudo para expresar tres relaciones principales de lado. Las razones seno, coseno y tangente son fundamentalmente importantes para resolver varios problemas en trigonometría.

Aplicaciones de las razones trigonométricas

Las razones trigonométricas tienen numerosas aplicaciones, que van desde tareas prácticas en actividades cotidianas hasta la resolución de problemas complejos en varios campos:

  • Topografía: La trigonometría se utiliza en topografía para medir distancias entre objetos distantes. Las distancias combinadas con ángulos ayudan en la determinación de varios parámetros.
  • Navegación: La trigonometría ayuda a navegar alrededor de curvas y ángulos. Se utiliza en la planificación de rutas, la construcción naval y las industrias de aviación para determinar rutas y encontrar posiciones.
  • Arquitectura e Ingeniería: Ayuda en el diseño de edificios, puentes y otras estructuras, determinando alturas, fuerzas y cargas.

Conclusión

Las razones trigonométricas son un componente clave de la trigonometría. Al usar las relaciones entre los ángulos y las longitudes de los lados de los triángulos rectángulos, estas razones ayudan a resolver muchos problemas prácticos. Comprender el seno, coseno, tangente y sus inversas es fundamental para un estudio más avanzado en matemáticas y ciencia.


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