निर्देशांक ज्यामिति

निर्देशांक ज्यामिति, जिसे विश्लेषणात्मक ज्यामिति भी कहा जाता है, गणित की एक अद्भुत शाखा है जो बीजगणित को ज्यामिति के साथ मिलाती है। पारंपरिक ज्यामिति के विपरीत, जो मुख्य रूप से बिंदुओं, रेखाओं, सतहों और ठोस जैसे वस्तुओं के आकार, माप और आयामों से संबंधित है, निर्देशांक ज्यामिति समीकरणों के ग्राफ के माध्यम से बीजगणित और ज्यामिति के बीच एक संबंध प्रदान करती है। यह अंक, रेखाएँ और विमानों की स्थिति को निर्धारित करने के लिए सह-अंक कहे जाने वाले संख्यात्मक मानों की एक जोड़ी का उपयोग करती है, चाहे वह द्वि-आयामी हो या त्रि-आयामी स्थान हो।

कार्तीय निर्देशांक प्रणाली

फ्रेंच गणितज्ञ रिनी डिकार्ट्स के नाम पर, कार्तीय निर्देशांक प्रणाली एक द्वि-आयामी समतल है जो एक क्षैतिज संख्या रेखा (एक्स-अक्ष) और एक लंबवत संख्या रेखा (वाई-अक्ष) द्वारा परिभाषित होती है। ये अक्ष एक बिंदु पर परस्पर मिलते हैं जिसे मूल बिंदु कहा जाता है, जिसे आमतौर पर बिंदु (0,0) के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है। इस समतल में प्रत्येक बिंदु को संख्याओं के एक क्रमबद्ध युग्म द्वारा वर्णित किया गया है: एक्स-निर्देशांक और वाई-निर्देशांक। एक्स-निर्देशांक वाई-अक्ष से दाएँ या बाएँ की दूरी को निर्दिष्ट करता है, जबकि वाई-निर्देशांक एक्स-अक्ष के ऊपर या नीचे की दूरी को निर्दिष्ट करता है।

    x-axis ------------------ 
                           ,
                           | *(3, 4)
                           ,
                           ,
        -------------------|------------------- y-axis
                           ,
                           ,

ऊपर के आकृति में, तारा दो-आयामी समतल में (3, 4) निर्देशांक के साथ एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है। इसका अर्थ है कि यह बिंदु y-अक्ष के दायें से 3 इकाइयाँ और x-अक्ष के ऊपर 4 इकाइयाँ है।

बिंदु प्लोट करना

निर्देशांक ज्यामिति में बिंदु प्लोट करना सरल है। आप एक क्रमबद्ध युग्म लेते हैं और उस युग्म से संबंधित बिंदु की स्थिति निर्धारित करते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए बिंदु (-2, 5) को प्लोट करें:

    x-axis ------------------ 
           ,
           | * (-2, 5)
           ,
           ,
-------------------|------------------- y-axis
           ,       
           ,

यहाँ, -2 का अर्थ है y-अक्ष के बाएँ 2 इकाइयाँ जाना, और 5 का अर्थ है x-अक्ष पर 5 इकाइयाँ ऊपर जाना, जिससे हमारा बिंदु सही स्थान पर आ जाएगा।

दो बिंदुओं के बीच की दूरी

दो बिंदुओं के बीच की दूरी खोजने के लिए, आप पाइथागोरस प्रमेय से व्युत्पन्न दूरी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। यदि आपके पास दो बिंदु हैं, (x1, y1) और (x2, y2), तो उनके बीच की दूरी d निम्नलिखित होती है:

    D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

उदाहरण के लिए, बिंदुओं A (1, 2) और B (4, 6) के बीच की दूरी खोजने के लिए:

    D = √((4 - 1)² + (6 - 2)²)
      = √(3² + 4²)
      = √(9 + 16)
      = √25
      = 5

दो बिंदुओं के बीच की दूरी 5 युनिट है।

एक रेखा खंड का मध्य बिंदु

दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखा खंड का मध्य बिंदु वह बिंदु होता है जो रेखा खंड को दो भागों में विभाजित करता है। दो अंतिम बिंदु दिए गए हैं, (x1, y1) और (x2, y2), तो मध्य बिंदु (xm, ym) को निम्नलिखित के रूप में गणना की जाती है:

    xm = (x1 + x2) / 2
    ym = (y1 + y2) / 2

बिंदु C (2, 3) और D (10, 9) को जोड़ने वाले रेखा खंड के मध्य बिंदु को खोजें:

    xm = (2 + 10) / 2 = 12 / 2 = 6
    ym = (3 + 9) / 2 = 12 / 2 = 6

    मध्य बिंदु = (6, 6)

रेखा की ढलान

रेखा की ढलान उसकी तीव्रता और दिशा का मापन है। दो बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) के माध्यम से जाने वाली रेखा की ढलान m खोजने के लिए सूत्र है:

    m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

बिंदु E (2, 3) और F (5, 7) को मान लें, ढलान है:

    m = (7 - 3) / (5 - 2)
      = 4 / 3

बिंदु E और F को जोड़ने वाली रेखा की ढलान 4/3 है।

रेखा का समीकरण

रेखा के समीकरण को कई रूपों में वर्णित किया जाता है, जिनमें सबसे सामान्य हैं ढलान-छिद्र रूप और बिंदु-ढलान रूप।

ढलान-छिद्र रूप

रेखा के समीकरण के इस रूप को y = mx + c के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां m ढलान है और c y-अवरोधक है (यह बिंदु जहां रेखा y-अक्ष को क्रॉस करती है)।

उदाहरण के लिए, यदि एक रेखा की ढलान 2 है और यह y-अक्ष को -3 पर क्रॉस करती है, तो समीकरण है:

    y = 2x – 3

बिंदु-ढलान रूप

यदि आप रेखा पर एक बिंदु (x1, y1) और इसकी ढलान m जानते हैं, तो आप इसका समीकरण लिख सकते हैं:

    y - y1 = m(x - x1)

एक बिंदु G (3, 4) और ढलान 5 जानते हुए, समीकरण है:

    y – 4 = 5(x – 3)

सामान्य रूप

एक रेखीय समीकरण का सामान्य रूप Ax + By + C = 0 में व्यक्त किया जाता है, जहां A, B, और C स्थिरांक हैं।

बिंदु-ढलान या ढलान-छिद्र रूप को सामान्य रूप में बदलना बीजगणितीय हेरफेर शामिल करता है, जैसे कोष्ठक का विस्तार और समान शर्तों को संग्रहित करना।

समानांतर और लंबवत रेखाएँ

रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि उनकी ढलान समान होती है। इस प्रकार, दो रेखाएँ जिनकी ढलान m1 और m2 होती हैं, यदि m1 = m2 हो तो समानांतर होती हैं।

उदाहरण के लिए, रेखाएँ y = 2x + 3 और y = 2x - 4 समानांतर हैं क्योंकि उनकी ढलान 2 है।

रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनकी ढलानों का गुणनफल -1 होता है। इस प्रकार, m1 और m2 ढलानों वाली रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि m1 * m2 = -1 हो।

उदाहरण के लिए, यदि एक रेखा है y = 3x + 5, तो दूसरी रेखा लंबवत होगी यदि उसकी ढलान -1/3 हो।

शंकु खंड

निर्देशांक ज्यामिति में अध्ययन में शंकु खंड भी शामिल होता है: वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय, और अधिवृत्त। ये वे वक्र होते हैं जो एक समकोण शंकु को एक समतल से काटने पर प्राप्त होते हैं।

वृत्त

केंद्र (h, k) और त्रिज्या r के साथ एक वृत्त का मानक समीकरण है:

    (x – h)² + (y – k)² = r²

केंद्र (2, -1) और त्रिज्या 5 वाले वृत्त का समीकरण है:

    (x - 2)² + (y + 1)² = 25

दीर्घवृत्त

केंद्र (h, k) के साथ दीर्घवृत्त का समीकरण है:

    (x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1

मूल्यों a और b से दीर्घवृत्त के आकार और उन्मुखता निर्धारित होती है।

परवलय

केंद्र (h, k) पर खुलने/बंद होने वाली परवलय दिया जाता है:

    (x – h)² = 4p(y – k)

जहां p परवलय के विक्षेपन से फोकस की दूरी है।

अधिवृत्त

मानक समीकरण है:

    (x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1

अधिवृत्त में दो अलग-अलग वक्र होते हैं जिन्हें शाखाएं कहा जाता है जो एक-दूसरे के अनुरूप होते हैं।

निष्कर्ष

निर्देशांक ज्यामिति एक महत्वपूर्ण विषय है और इसके सिद्धांत भौतिकी, कंप्यूटर ग्राफिक्स, इंजीनियरिंग और नौवहन जैसे विभिन्न क्षेत्रों में लागू होते हैं। ज्यामितीय आकारों को समीकरणों के रूप में प्रस्तुत करने में सक्षम होना इन आकृतियों पर बीजगणितीय क्रियाओं को अधिक आसानी से करने की अनुमति देता है, जो समस्याओं को दृश्यरूप से हल करने में बहुत मदद करता है जो अन्यथा काफी जटिल हो सकती हैं।

बिंदुओं को प्लोट करना, दूरी की गणना करना, ढलानों का निर्धारण करना, और रेखाओं के समीकरण को हल करना समझकर, सीखने वाले अधिक जटिल ज्यामितीय समस्याओं को अधिक आसानी से हल कर सकते हैं।

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