Grado 10 ↓
Geometría de coordenadas
La geometría de coordenadas, también conocida como geometría analítica, es una fascinante rama de las matemáticas que combina el álgebra con la geometría. A diferencia de la geometría tradicional que se ocupa principalmente de la forma, tamaño y dimensiones de objetos como puntos, líneas, superficies y sólidos, la geometría de coordenadas proporciona una conexión entre el álgebra y la geometría a través de los gráficos de ecuaciones. Utiliza un par de valores numéricos llamados coordenadas para determinar la posición de puntos, líneas y planos en el espacio bidimensional o incluso tridimensional.
Sistema de coordenadas cartesianas
Nombrado en honor al matemático francés René Descartes, el sistema de coordenadas cartesianas es un plano bidimensional definido por una línea numérica horizontal (el eje x) y una línea numérica vertical (el eje y). Estos ejes se cruzan en un punto llamado el origen, que generalmente se designa como el punto (0,0). Cada punto en este plano se describe mediante un par ordenado de números: la coordenada x y la coordenada y. La coordenada x especifica la distancia a la derecha o izquierda del eje y, mientras que la coordenada y especifica la distancia por encima o por debajo del eje x.
eje x ------------------
,
| *(3, 4)
,
,
-------------------|------------------- eje y
,
,
En el diagrama anterior, la estrella representa un punto con coordenadas (3, 4) en el plano bidimensional. Esto significa que el punto está a 3 unidades a la derecha del eje y y 4 unidades por encima del eje x.
Graficación de puntos
Graficar puntos en geometría de coordenadas es sencillo. Tomas un par ordenado y determinas la posición del punto correspondiente a ese par.
Por ejemplo, graficamos el punto (-2, 5):
eje x ------------------
,
| * (-2, 5)
,
,
-------------------|------------------- eje y
,
,
Aquí, -2 significa mover 2 unidades a la izquierda del eje y, y 5 significa mover 5 unidades hacia arriba del eje x, de modo que nuestro punto llegará a la posición correcta.
Distancia entre dos puntos
Para encontrar la distancia entre dos puntos, puedes usar la fórmula de la distancia derivada del Teorema de Pitágoras. Si tienes dos puntos, (x1, y1) y (x2, y2), la distancia d entre ellos se da por:
D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
Por ejemplo, para encontrar la distancia entre los puntos A (1, 2) y B (4, 6):
D = √((4 - 1)² + (6 - 2)²)
= √(3² + 4²)
= √(9 + 16)
= √25
= 5
La distancia entre los puntos es 5 unidades.
Punto medio de un segmento de línea
El punto medio de un segmento de línea que conecta dos puntos es simplemente el punto que divide el segmento de línea en dos partes. Dado los dos extremos, (x1, y1) y (x2, y2), el punto medio (xm, ym) se calcula de la siguiente manera:
xm = (x1 + x2) / 2
ym = (y1 + y2) / 2
Encontremos el punto medio del segmento de línea que une los puntos C (2, 3) y D (10, 9):
xm = (2 + 10) / 2 = 12 / 2 = 6
ym = (3 + 9) / 2 = 12 / 2 = 6
Punto medio = (6, 6)
Pendiente de la línea
La pendiente de una línea es una medida de su inclinación y dirección. La fórmula para encontrar la pendiente m de una línea que pasa por dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) es:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Considera los puntos E (2, 3) y F (5, 7), la pendiente es:
m = (7 - 3) / (5 - 2)
= 4 / 3
La pendiente de la línea que une los puntos E y F es 4/3.
Ecuación de la línea
La ecuación de una línea se describe en varias formas, las más comunes son la forma pendiente-intersección y la forma punto-pendiente.
Forma pendiente-intersección
Esta forma de la ecuación de una línea se expresa como y = mx + c, donde m es la pendiente y c es la intersección con el eje y (el punto donde la línea cruza el eje y).
Por ejemplo, si la pendiente de una línea es 2 y corta el eje y en -3, la ecuación es:
y = 2x – 3
Forma punto-pendiente
Si conoces un punto (x1, y1) en la línea y su pendiente m, puedes escribir la ecuación usando:
y - y1 = m(x - x1)
Dado un punto G (3, 4) y pendiente 5, la ecuación es:
y – 4 = 5(x – 3)
Forma general
La forma general de una ecuación lineal se expresa por Ax + By + C = 0, donde A, B y C son constantes.
Convertir la forma punto-pendiente o pendiente-intersección a forma normal implica manipulación algebraica, como expandir paréntesis y reunir términos semejantes.
Líneas paralelas y perpendiculares
Las líneas son paralelas si tienen la misma pendiente. Por lo tanto, dos líneas con pendientes m1 y m2 son paralelas si m1 = m2.
Por ejemplo, las líneas y = 2x + 3 y y = 2x - 4 son paralelas porque ambas tienen una pendiente de 2.
Las líneas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1. Por lo tanto, las líneas con pendientes m1 y m2 son perpendiculares si m1 * m2 = -1.
Por ejemplo, si una línea es y = 3x + 5, entonces la otra línea es perpendicular si su pendiente es -1/3.
Secciones cónicas
En geometría de coordenadas, el estudio también incluye secciones cónicas: círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. Estas son las curvas obtenidas al intersectar un cono circular recto con un plano.
Círculo
La ecuación estándar de un círculo con centro (h, k) y radio r es:
(x – h)² + (y – k)² = r²
La ecuación de un círculo centrado en (2, -1) y de radio 5 es:
(x - 2)² + (y + 1)² = 25
Elipse
La ecuación de la elipse con centro (h, k) es:
(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1
Los valores de a y b determinan la forma y la orientación de la elipse.
Parábola
Una parábola que se abre hacia arriba/abajo con vértice en (h, k) está dada por:
(x – h)² = 4p(y – k)
donde p es la distancia desde el vértice de la parábola hasta el foco.
Hipérbola
La ecuación estándar es:
(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1
Una hipérbola tiene dos curvas distintas llamadas ramas que son simétricas entre sí.
Conclusión
La geometría de coordenadas es un tema importante y sus conceptos se aplican en diversos campos como la física, gráficos por computadora, ingeniería y navegación. Poder representar formas geométricas con ecuaciones permite que las operaciones algebraicas en estas formas sean realizadas más fácilmente, lo que ayuda enormemente a visualizar y resolver problemas que de otro modo serían bastante complejos.
Al comprender los conceptos básicos de graficar puntos, calcular distancias, determinar pendientes y resolver ecuaciones de líneas, los estudiantes pueden resolver problemas geométricos más complejos con mayor facilidad.
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